Calcule partial wpartial x e partial wpartial y nos seguintes casos:
© w=3 u+7 v ; u=x^2 y e v=raizx y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa calcular as derivadas parciais de w = 3u + 7v em relação a u = x^2 y e v = raizx y , onde:
com:
Vamos usar as regras de derivação para funções compostas para achar essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial wpartial x = 3 cdot partial upartial x + 7 cdot partial vpartial x . Para isso, precisamos derivar em relação a , tratando como constante.
Agora, vamos encontrar e .

Passo 3

Calculando u = x^2 y :
partial upartial x = 2x y
Como é constante, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, calculando v = raizx y = (x y)^12 :
partial vpartial x = 12 (x y)^-12 cdot y = y2 raizx y
Usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Substituindo partial wpartial x = 3 cdot (2x y) + 7 cdot ( y2 raizx y ) e partial wpartial x = 6x y + 7y2 raizx y na expressão de :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular partial wpartial y = 3 cdot partial upartial y + 7 cdot partial vpartial y . Similar ao que fizemos para :
Primeiro, achamos e .

Passo 7

Calculando u = x^2 y :
partial upartial y = x^2
A derivada de em relação a é:

Passo 8

Calculando v = raizx y = (x y)^12 :
partial vpartial y = 12 (x y)^-12 cdot x = x2 raizx y
Usamos a regra da cadeia novamente:

Passo 9

Substituindo partial wpartial y = 3 cdot x^2 + 7 cdot ( x2 raizx y ) e partial wpartial y = 3x^2 + 7x2 raizx y na expressão de :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial x = 6x y + 7y2 raizx y
partial wpartial y = 3x^2 + 7x2 raizx y

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