Calcule os limites das sequências abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da sequência
Informações dadas: a sequência é definida por potências de
e
com expoentes envolvendo
. O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Fazendo uma manipulação algébrica simples para identificar a forma da sequência:
Então podemos escrever
com
.
Passo 3
Agora vamos entender o comportamento da sequência geométrica
quando
. Proposição útil (fácil de provar): se
então
Prova curta e direta: como
tem-se
, logo a sequência
é monótona decrescente e é limitada inferiormente por
. Portanto ela converge. Seja
seu limite; tomando limites na relação
obtemos
, ou seja
. Como
segue
.
Passo 4
Aplicando a proposição ao nosso caso:
satisfaz
, logo
Passo 5
Finalmente, usando a propriedade de limites (constante vezes sequência),
Dica de prova rápida para a prova: ao ver potências, tente fatorar para achar uma potência da forma
e ver se
(vai pra
),
(vai pra
) ou
(oscila).