Calcule os limites das sequências abaixo:
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{9^{n+1}}{10^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando n\to\infty da sequência
a_n=\frac{9^{n+1}}{10^{n}}.
Informações dadas: a sequência é definida por potências de 9 e 10 com expoentes envolvendo n. O objetivo é encontrar \lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Fazendo uma manipulação algébrica simples para identificar a forma da sequência:
\frac{9^{n+1}}{10^{n}}=\;9\cdot\frac{9^{n}}{10^{n}} \;=\;9\cdot\left(\frac{9}{10}\right)^{n}.
Então podemos escrever a_n=9\cdot r^{n} com r=\dfrac{9}{10}.

Passo 3

Agora vamos entender o comportamento da sequência geométrica \left(r^{n}\right)_{n\ge0} quando 0<r<1. Proposição útil (fácil de provar): se 0<r<1 então
\lim_{n\to\infty} r^{n}=0.
Prova curta e direta: como 0<r<1 tem-se r^{n+1}=r\cdot r^{n}<r^{n}, logo a sequência \big(r^{n}\big) é monótona decrescente e é limitada inferiormente por 0. Portanto ela converge. Seja L seu limite; tomando limites na relação r^{n+1}=r\cdot r^{n} obtemos L=r\cdot L, ou seja L(1-r)=0. Como r\neq1 segue L=0.

Passo 4

Aplicando a proposição ao nosso caso: r=\dfrac{9}{10} satisfaz 0<r<1, logo
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{9}{10}\right)^{n}=0.

Passo 5

Finalmente, usando a propriedade de limites (constante vezes sequência),
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} 9\cdot\left(\frac{9}{10}\right)^{n}=9\cdot 0=0.
Dica de prova rápida para a prova: ao ver potências, tente fatorar para achar uma potência da forma r^n e ver se |r|<1 (vai pra 0), |r|>1 (vai pra \infty) ou r=-1 (oscila).

Resposta

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