Calcule os limites das sequências.
\lim \left(\frac{n+5}{n+1}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite da sequência
a_{n} = \Bigl(\frac{n+5}{n+1}\Bigr)^{n}
Isso envolve limites de sequência do tipo “base próxima de 1 elevada a n grande”, onde usamos logaritmo e exponencial para analisar o comportamento.

Passo 2

Escrevemos a sequência em termos de exponencial e logaritmo, pois a função exponencial é contínua e facilita o estudo do limite:
a_{n} = \exp\bigl(n \ln\bigl(\tfrac{n+5}{n+1}\bigr)\bigr).
Assim,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \exp\!\Bigl(\lim_{n\to\infty}n \ln\bigl(\tfrac{n+5}{n+1}\bigr)\Bigr),
desde que o limite interno exista.

Passo 3

Focamos em
L = \lim_{n\to\infty}n \ln\!\Bigl(\tfrac{n+5}{n+1}\Bigr).
Note que
\ln\!\Bigl(\tfrac{n+5}{n+1}\Bigr) = \ln\!\Bigl(1 + \tfrac{4}{n+1}\Bigr).

Passo 4

Usamos o fato de que \ln(1+x)\sim x quando x\to0. Mais rigorosamente, definindo m=n+1, temos
n\ln\!(1+\tfrac{4}{n+1}) = (m-1)\ln\!(1+\tfrac{4}{m}) = m\ln\!(1+\tfrac{4}{m}) \;-\;\ln\!(1+\tfrac{4}{m}).
Como m\to\infty, vale
m\ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{m}\bigr)\to 4 \quad\text{e}\quad \ln\!\bigl(1+\tfrac{4}{m}\bigr)\to 0,
logo L=4.

Passo 5

Voltando ao limite da sequência, obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \exp(L) = \exp(4) = e^{4}.

Resposta

e^{4}

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