Um corpo está conectado a um mola e pode deslizar sobre um plano horizontal submetido apenas a força da mola e a uma força de viscosidade. Sabe-se que a equação diferencial do movimento (onde
é a posição na escala horizontal e
é o tempo) é
e no instante
sua posição é
e sua velocidade é
.
a) Se
qual a equação horária
do movimento ?
b) Se o valor de
aumentar gradativamente a partir de
, haverá um certo
no qual o movimento deixa de ser oscilatório. Qual é esse valor
?
a) Se
b) Se o valor de
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento viscoso cuja equação do movimento é
com condições iniciais
e
.
a) Para , queremos achar a solução
.
b) Queremos encontrar tal que para
o movimento deixe de oscilar (caso crítico).
a) Para
b) Queremos encontrar
Passo 2
Vamos resolver a parte (a) usando o método das equações características. Assumimos solução do tipo
. Substituindo em
obtemos a equação característica
Calculamos as raízes:
Passo 3
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é
Agora aplicamos as condições iniciais. Em
:
Para
, derivamos:
Em
:
Passo 4
Substituindo
na solução geral, obtemos
Passo 5
Para a parte (b), o movimento deixa de ser oscilatório exatamente no caso crítico, isto é, quando o discriminante da equação característica se anula:
Esse valor
separa o regime subamortecido (
, oscilatório) do superamortecido (
, não oscilatório).
Resposta
a)
b)
b)