Um corpo está conectado a um mola e pode deslizar sobre um plano horizontal submetido apenas a força da mola e a uma força de viscosidade. Sabe-se que a equação diferencial do movimento (onde x é a posição na escala horizontal e t é o tempo) é
x^{\prime \prime}+b x^{\prime}+2 x=0
e no instante t=0 sua posição é x(0)=3 e sua velocidade é x^{\prime}(0)=0.
a) Se b=2 qual a equação horária x(t) do movimento ?
b) Se o valor de b aumentar gradativamente a partir de b=2, haverá um certo b=b_{0}>2 no qual o movimento deixa de ser oscilatório. Qual é esse valor b_{0} ?

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola com amortecimento viscoso cuja equação do movimento é
x'' + b\,x' + 2\,x = 0,
com condições iniciais x(0)=3 e x'(0)=0.
a) Para b=2, queremos achar a solução x(t).
b) Queremos encontrar b_{0}>2 tal que para b>b_{0} o movimento deixe de oscilar (caso crítico).

Passo 2

Vamos resolver a parte (a) usando o método das equações características. Assumimos solução do tipo x(t)=e^{rt}. Substituindo em
x''+2\,x'+2\,x=0
obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 2 = 0.
Calculamos as raízes:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot2}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas -1\pm i, a solução geral é
x(t) = e^{-t}\bigl(A\cos t + B\sin t\bigr).
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
x(0)=3 \implies A=3.
Para x'(t), derivamos:
x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[e^{-t}(A\cos t + B\sin t)\bigr] = e^{-t}\bigl((-A+B)\cos t + (-A - B)\sin t\bigr).
Em t=0:
x'(0)=0 \implies -A + B = 0 \implies B = A = 3.

Passo 4

Substituindo A=B=3 na solução geral, obtemos
x(t) = e^{-t}\bigl(3\cos t + 3\sin t\bigr) = 3\,e^{-t}(\cos t + \sin t).

Passo 5

Para a parte (b), o movimento deixa de ser oscilatório exatamente no caso crítico, isto é, quando o discriminante da equação característica se anula:
b^2 - 4\cdot1\cdot2 = 0 \implies b^2 = 8 \implies b = 2\sqrt{2}.
Esse valor b_{0}=2\sqrt{2} separa o regime subamortecido ( b<2\sqrt{2}, oscilatório) do superamortecido ( b>2\sqrt{2}, não oscilatório).

Resposta

a) x(t) = 3\,e^{-t}(\cos t + \sin t).
b) b_{0} = 2\sqrt{2}.

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