Calcule os limites e simplifique sua resposta:
lim x 0 e^x-1-x-x^2 / 2-x^3 / 6x^4.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limx to 0 e^x - 1 - x - tfracx^22 - tfracx^36x^4.
Note que ao substituir x=0 obtemos uma forma indeterminada tfrac00. O conteúdo principal aqui é usar o desenvolvimento em série de Taylor de e^x até termos de ordem x^4.

Passo 2

O desenvolvimento de Taylor de e^x em torno de 0 até a quarta ordem é
e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + o(x^4)
Aqui o(x^4) representa termos de ordem superior a x^4 que serão desprezados no limite.

Passo 3

Substituindo esse desenvolvimento no numerador, temos
e^x - 1 - x - x^22 - x^36 = l(1 + x + tfracx^22 + tfracx^36 + tfracx^424 + o(x^4)r) - 1 - x - tfracx^22 - tfracx^36 = x^424 + o(x^4)

Passo 4

Dividindo por x^4 e usando que tfraco(x^4)x^4to0 quando xto0, obtemos
e^x - 1 - x - tfracx^22 - tfracx^36x^4 = tfracx^424 + o(x^4)x^4 = 124 + o(x^4)x^4 ;xrightarrow[xto0];124

Resposta

124

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