Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{2} \cdot \ln \left(\frac{x^{2}-9}{x^{2}-1}\right)\right)=

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(x^{2}\cdot \ln\!\left(\frac{x^{2}-9}{x^{2}-1}\right)\right).
Informações dadas e pedido:
  • A expressão envolve x^{2} multiplicando um logaritmo natural.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty.
  • Quero encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Observação útil: como aparece somente x^{2} dentro das expressões, o comportamento quando x\to -\infty é o mesmo que quando x\to +\infty (pois x^{2} depende só de x^{2}). Para simplificar, faço a substituição
t = x^{2},
portanto quando x\to -\infty temos t\to +\infty. O limite fica equivalente a
\lim_{t\to +\infty} t\cdot \ln\!\left(\frac{t-9}{t-1}\right).

Passo 3

Reescrevo o logaritmo de forma que a parte pequena apareça explicitamente. Note que
\frac{t-9}{t-1} = 1 - \frac{8}{t-1}.
Então a expressão dentro do logaritmo é 1+u com
u = -\frac{8}{t-1},
que tende a 0 quando t\to +\infty. Logo o limite que quero é
\lim_{t\to +\infty} t\cdot \ln\!\left(1 - \frac{8}{t-1}\right).

Passo 4

Vou usar um fato padrão e muito útil sobre logaritmos: quando u\to 0,
\frac{\ln(1+u)}{u}\longrightarrow 1.
Explicando por que isso vale (forma curta e confiável): a função f(u)=\ln(1+u) tem derivada f'(u)=\dfrac{1}{1+u}; pela definição de derivada em u=0,
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)-\ln(1+0)}{u-0}=\left.\frac{d}{du}\ln(1+u)\right|_{u=0}=\frac{1}{1+0}=1,
ou seja \displaystyle\lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u}=1. (Também poderia usar a expansão de Taylor \ln(1+u)=u+o(u).)

Passo 5

Volto ao meu limite e fatoro de modo a aplicar o fato do Passo 4. Escrevo
t\cdot \ln\!\left(1 - \frac{8}{t-1}\right) = t\cdot \left(-\frac{8}{t-1}\right)\cdot \frac{\ln\!\left(1 - \dfrac{8}{t-1}\right)}{-\dfrac{8}{t-1}}.
Aqui coloquei a fração \dfrac{\ln(1+u)}{u} com u=-\dfrac{8}{t-1}. Quando t\to+\infty temos u\to 0, então pelo Passo 4 a última razão tende a 1. Portanto o limite se reduz ao produto dos dois primeiros fatores:
\lim_{t\to +\infty} t\cdot \left(-\frac{8}{t-1}\right)\cdot 1 = -8\cdot \lim_{t\to +\infty}\frac{t}{t-1}.

Passo 6

Calculo a última razão:
\lim_{t\to +\infty}\frac{t}{t-1} = \lim_{t\to +\infty}\frac{1}{1-\tfrac{1}{t}} = 1,
pois \tfrac{1}{t}\to 0. Então o limite total vale
-8\cdot 1 = -8.

Resposta

-8

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