Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão é uma função de
e o ponto de aproximação é . - Não há valores numéricos adicionais; tudo está contido na própria expressão.
Passo 2
Simplificar identidades e fatorar o denominador (usar apenas álgebra e trigonometria elementar).
Primeiro, use a identidade de seno: para todo vale
. Então, com
,
Primeiro, use a identidade de seno: para todo
Logo o produto dos senos fica
Agora fatorar o denominador observando que é um cubo perfeito:
pois
.
Substituindo essas simplificações, a expressão do limite torna-se
Passo 3
Mudar variável para centralizar em zero (isso facilita aplicar limites fundamentais).
Defina . Quando
temos
. Reescrevendo em
,
Defina
Reorganize a razão para usar o limite clássico
:
portanto a expressão fica
Passo 4
Aplicar limites conhecidos e analisar o fator que diverge.
Sabemos o limite clássico
Sabemos o limite clássico
logo
Também
. Assim, a expressão comporta-se como
mais precisamente
até termos de ordem inferior. Note que
(pois
não é da forma
); numericamente
. Portanto o fator
provoca divergência.
Passo 5
Determinar os limites laterais para concluir.
Como , para pequenos
temos sinal da expressão aproximado por
. Assim:
Como
- para
(isto é, ) a expressão tende a ; - para
(isto é, ) a expressão tende a .
Os limites laterais são diferentes (um
e outro
), portanto o limite bilateral não existe.
Resposta
Não existe (limites laterais:
e
).