Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{\sin (x-2) \cdot \sin (2-x) \cdot \cos (x+2)}{x^{3}-6 x^{2}+12 x-8}\right]=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 2}\left[\frac{\sin(x-2)\cdot\sin(2-x)\cdot\cos(x+2)}{x^{3}-6x^{2}+12x-8}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é uma função de x e o ponto de aproximação é x=2.
  • Não há valores numéricos adicionais; tudo está contido na própria expressão.

Passo 2

Simplificar identidades e fatorar o denominador (usar apenas álgebra e trigonometria elementar).
Primeiro, use a identidade de seno: para todo t vale \sin(-t)=-\sin t. Então, com t=x-2,
\sin(2-x)=\sin(-(x-2))=-\sin(x-2).
Logo o produto dos senos fica
\sin(x-2)\cdot\sin(2-x)=-\sin^{2}(x-2).
Agora fatorar o denominador observando que é um cubo perfeito:
x^{3}-6x^{2}+12x-8=(x-2)^{3},
pois (x-2)^{3}=x^{3}-6x^{2}+12x-8.
Substituindo essas simplificações, a expressão do limite torna-se
\lim_{x\to 2}\frac{-\sin^{2}(x-2)\,\cos(x+2)}{(x-2)^{3}}.

Passo 3

Mudar variável para centralizar em zero (isso facilita aplicar limites fundamentais).
Defina u=x-2. Quando x\to 2 temos u\to 0. Reescrevendo em u,
\lim_{u\to 0}\frac{-\sin^{2}u\;\cos(u+4)}{u^{3}}.
Reorganize a razão para usar o limite clássico \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1:
\frac{\sin^{2}u}{u^{3}}=\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2}\cdot\frac{1}{u},
portanto a expressão fica
\lim_{u\to 0}\left[-\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2}\cos(u+4)\cdot\frac{1}{u}\right].

Passo 4

Aplicar limites conhecidos e analisar o fator que diverge.
Sabemos o limite clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1,
logo
\lim_{u\to 0}\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2}=1.
Também \lim_{u\to 0}\cos(u+4)=\cos 4. Assim, a expressão comporta-se como
-\cos 4\cdot\frac{1}{u}\quad\text{quando }u\to 0,
mais precisamente
\lim_{u\to 0}\left[-\left(\frac{\sin u}{u}\right)^{2}\cos(u+4)\cdot\frac{1}{u}\right] = \lim_{u\to 0}\left[-\cos 4\cdot\frac{1}{u}\right],
até termos de ordem inferior. Note que \cos 4\neq 0 (pois 4 não é da forma \tfrac{(2k+1)\pi}{2}); numericamente \cos 4\approx -0,6536\neq 0. Portanto o fator \dfrac{1}{u} provoca divergência.

Passo 5

Determinar os limites laterais para concluir.
Como \cos 4\approx -0,6536<0, para pequenos u temos sinal da expressão aproximado por +\dfrac{|\cos 4|}{u}. Assim:
  • para u\to 0^{+} (isto é, x\to 2^{+}) a expressão tende a +\infty;
  • para u\to 0^{-} (isto é, x\to 2^{-}) a expressão tende a -\infty.
Os limites laterais são diferentes (um +\infty e outro -\infty), portanto o limite bilateral não existe.

Resposta

Não existe (limites laterais: +\infty e -\infty).

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