Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a expressão
. - Pergunta: calcular
.
Passo 2
Fato fundamental que vou usar (e vou explicar por que vale):
Por que isso é verdadeiro (explicação geométrica/squeeze, passo a passo): para
vale a desigualdade geométrica
Dividindo todos os termos por
obtemos
Mas
, então a desigualdade acima pode ser reescrita como
Isto implica
Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
Esse argumento trata
; para
nota-se que
é função par, logo o limite bilateral também é
.
Passo 3
Propriedades de limite que vou usar (explicação curta e prática):
- Produto por constante: se
e é constante, então . - Substituição/composição simples: se
e , então desde que . No nosso caso, se então quando .
Passo 4
Aplicando as ideias ao limite pedido. Faça a fatoração conveniente:
Aqui só reescrevi a expressão multiplicando e dividindo por
.
Passo 5
Agora passo ao limite usando as propriedades:
- Quando
, temos . Então pela verificação do Passo 2,
- Usando produto por constante,