Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{5 x}\right)=

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a expressão \dfrac{\sin 3x}{5x}.
  • Pergunta: calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin 3x}{5x}\right).

Passo 2

Fato fundamental que vou usar (e vou explicar por que vale):
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Por que isso é verdadeiro (explicação geométrica/squeeze, passo a passo): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\sin t < t < \tan t.
Dividindo todos os termos por t>0 obtemos
\frac{\sin t}{t} < 1 < \frac{\tan t}{t}.
Mas \frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}, então a desigualdade acima pode ser reescrita como
\frac{\sin t}{t} < 1 < \frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}.
Isto implica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Esse argumento trata t\to 0^+; para t\to 0^- nota-se que \dfrac{\sin t}{t} é função par, logo o limite bilateral também é 1.

Passo 3

Propriedades de limite que vou usar (explicação curta e prática):
  • Produto por constante: se \lim_{u\to a}f(u)=L e c é constante, então \lim_{u\to a} c\cdot f(u)=c\cdot L.
  • Substituição/composição simples: se \lim_{x\to 0}g(x)=0 e \lim_{t\to 0}f(t)=L, então \lim_{x\to 0} f(g(x))=L desde que g(x)\to 0. No nosso caso, se t=3x então t\to 0 quando x\to 0.

Passo 4

Aplicando as ideias ao limite pedido. Faça a fatoração conveniente:
\frac{\sin 3x}{5x}=\frac{3}{5}\cdot\frac{\sin 3x}{3x}.
Aqui só reescrevi a expressão multiplicando e dividindo por 3.

Passo 5

Agora passo ao limite usando as propriedades:
  • Quando x\to 0, temos 3x\to 0. Então pela verificação do Passo 2,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}=1.
  • Usando produto por constante,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{5x}=\frac{3}{5}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x}=\frac{3}{5}\cdot 1=\frac{3}{5}.

Resposta

\dfrac{3}{5}

Exercícios relacionados