Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Não há valores numéricos adicionais nem figura.
Passo 2
Vamos recordar um resultado fundamental que vamos usar muitas vezes: o limite notório
Explicação didática curta (por que isso vale): para
próximo de zero e
vale a desigualdade
. Como
, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue
. Para
o mesmo resultado vale por paridade/ímpares das funções envolvidas. Esse limite é a ferramenta básica para aproximar funções seno por sua variável quando a variável é pequena.
Passo 3
Manipulamos a expressão para aplicar o limite anterior de forma clara. Escrevemos
Justificativa da álgebra: multiplicando e dividindo por
obtemos a decomposição acima, que separa um fator que tende a 1 (pois envolve
) e outro fator que contém a possível divergência.
Passo 4
Analisamos cada fator separadamente.
Primeiro fator:
Pelo resultado do Passo 2,
, então
Segundo fator:
Note que aqui usamos a multiplicação por
escrita como
. Defina
. Quando
então
. Pelo resultado do Passo 2 temos
, ou seja
. Substituindo
obtemos
Portanto
mais precisamente
tende ao comportamento de
porque
.
Passo 5
Agora combinamos os resultados. Da decomposição do Passo 3 e dos limites dos fatores do Passo 4:
mas já vimos que
e
. Então, para
próximo de zero a expressão comporta-se como
. Assim o limite está ligado ao limite de
quando
, que diverge e muda de sinal conforme o lado de aproximação.
Passo 6
Determinação das limites laterais e conclusão:
- Para
temos . Como os fatores que não divergem tendem a , segue
- Para
temos . Da mesma razão,
Portanto o limite bilateral
não existe como número finito, e nem como infinito único, porque as duas laterais divergem com sinais opostos.
Resposta
O limite bilateral não existe;
e
.