Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin ^{2} x}{x \sin x^{2}}\right]=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})}\right].
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})}.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • Não há valores numéricos adicionais nem figura.

Passo 2

Vamos recordar um resultado fundamental que vamos usar muitas vezes: o limite notório
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicação didática curta (por que isso vale): para u próximo de zero e u>0 vale a desigualdade \cos u\le\frac{\sin u}{u}\le 1. Como \lim_{u\to 0}\cos u=1, pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem) segue \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. Para u<0 o mesmo resultado vale por paridade/ímpares das funções envolvidas. Esse limite é a ferramenta básica para aproximar funções seno por sua variável quando a variável é pequena.

Passo 3

Manipulamos a expressão para aplicar o limite anterior de forma clara. Escrevemos
\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})} = \frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\cdot\frac{x}{\sin(x^{2})}.
Justificativa da álgebra: multiplicando e dividindo por x^{2} obtemos a decomposição acima, que separa um fator que tende a 1 (pois envolve \sin x/x) e outro fator que contém a possível divergência.

Passo 4

Analisamos cada fator separadamente.
Primeiro fator:
\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}=\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}.
Pelo resultado do Passo 2, \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, então
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}=1^{2}=1.
Segundo fator:
\frac{x}{\sin(x^{2})}=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{\sin(x^{2})}.
Note que aqui usamos a multiplicação por 1 escrita como \dfrac{1}{x}\cdot x. Defina u=x^{2}. Quando x\to 0 então u\to 0. Pelo resultado do Passo 2 temos \dfrac{\sin u}{u}\to 1, ou seja \dfrac{u}{\sin u}\to 1. Substituindo u=x^{2} obtemos
\frac{x^{2}}{\sin(x^{2})}\longrightarrow 1\quad\text{quando }x\to 0.
Portanto
\frac{x}{\sin(x^{2})}=\frac{1}{x}\cdot\frac{x^{2}}{\sin(x^{2})}\sim\frac{1}{x}\quad\text{quando }x\to 0,
mais precisamente \dfrac{x}{\sin(x^{2})} tende ao comportamento de \dfrac{1}{x} porque \dfrac{x^{2}}{\sin(x^{2})}\to 1.

Passo 5

Agora combinamos os resultados. Da decomposição do Passo 3 e dos limites dos fatores do Passo 4:
\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})} = \frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{\sin(x^{2})}\cdot\frac{1}{x}
mas já vimos que \dfrac{\sin^{2}x}{x^{2}}\to 1 e \dfrac{x^{2}}{\sin(x^{2})}\to 1. Então, para x próximo de zero a expressão comporta-se como \dfrac{1}{x}. Assim o limite está ligado ao limite de \dfrac{1}{x} quando x\to 0, que diverge e muda de sinal conforme o lado de aproximação.

Passo 6

Determinação das limites laterais e conclusão:
  • Para x\to 0^{+} temos \dfrac{1}{x}\to +\infty. Como os fatores que não divergem tendem a 1, segue
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})}=+\infty.
  • Para x\to 0^{-} temos \dfrac{1}{x}\to -\infty. Da mesma razão,
\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})}=-\infty.
Portanto o limite bilateral \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})} não existe como número finito, e nem como infinito único, porque as duas laterais divergem com sinais opostos.

Resposta

O limite bilateral não existe; \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})}=+\infty e \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin^{2}x}{x\sin(x^{2})}=-\infty.

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