Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a um valor é
(ou seja, ). -
é um parâmetro (um número real qualquer). - Deve-se apresentar o valor do limite em função de
(se existir) e, se necessário, discutir casos especiais.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas de adição para seno e cosseno — elas são a ferramenta principal aqui. Para quaisquer números reais
e
valem:
Explicando rápido: em
por exemplo, multiplica-se
por
e somando
por
. Essas identidades são exatas e válidas para todos
.
Passo 3
Aplique as fórmulas com
e
na expressão do numerador:
Subtraindo:
Os termos
se cancelam, ficando
Passo 4
Agora o denominador, usando as fórmulas para cosseno:
Subtraindo:
Os termos
se cancelam, ficando
Passo 5
Colocando numerador e denominador simplificados na razão:
Podemos cancelar o fator comum
desde que
. Após cancelamento obtemos (para pontos onde a expressão está definida)
Observação importante sobre cancelamento: a simplificação algébrica acima é válida para valores de
tais que
. Para estudar o limite
vamos usar essa expressão simplificada e a continuidade quando possível.
Passo 6
Agora tomamos o limite
.
- Se
: a expressão simplificada é um número constante (não depende de ) e é contínua na vizinhança de . Logo
- Se
(isto é, para algum inteiro ): olhe a fórmula do denominador que obtivemos:
Se
então
para todo
. Assim o denominador é identicamente zero e a razão original não está definida em nenhum ponto da vizinhança de
(não existe função bem definida para tomar o limite como valor finito). Por exemplo, para
a expressão fica
, claramente sem sentido. Portanto, quando
o limite não existe (não há limite finito).
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova:
- Use as fórmulas de adição para expandir termos
e . - Factorize e cancele o que for comum (atenção onde a cancelação é permitida).
- Verifique se a expressão resultante é contínua em
; se for, basta substituir . - Sempre trate separadamente valores de
que anulem denominadores constantes (aqui ).
Resposta
não existe (indefinido), se