Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin (a+x)-\sin (a-x)}{\cos (a+x)-\cos (a-x)}\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to a}\left(\frac{\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\cos(a+x)-\cos(a-x)}\right).
Informações dadas:
  • A variável que tende a um valor é x (ou seja, x\to a).
  • a é um parâmetro (um número real qualquer).
  • Deve-se apresentar o valor do limite em função de a (se existir) e, se necessário, discutir casos especiais.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas de adição para seno e cosseno — elas são a ferramenta principal aqui. Para quaisquer números reais u e v valem:
\sin(u\pm v)=\sin u\cos v\pm\cos u\sin v,
\cos(u\pm v)=\cos u\cos v\mp\sin u\sin v.
Explicando rápido: em \sin(u+v) por exemplo, multiplica-se \sin u por \cos v e somando \cos u por \sin v. Essas identidades são exatas e válidas para todos u,v.

Passo 3

Aplique as fórmulas com u=a e v=x na expressão do numerador:
\sin(a+x)=\sin a\cos x+\cos a\sin x,
\sin(a-x)=\sin a\cos x-\cos a\sin x.
Subtraindo:
\sin(a+x)-\sin(a-x)=(\sin a\cos x+\cos a\sin x)-(\sin a\cos x-\cos a\sin x).
Os termos \sin a\cos x se cancelam, ficando
\sin(a+x)-\sin(a-x)=2\cos a\sin x.

Passo 4

Agora o denominador, usando as fórmulas para cosseno:
\cos(a+x)=\cos a\cos x-\sin a\sin x,
\cos(a-x)=\cos a\cos x+\sin a\sin x.
Subtraindo:
\cos(a+x)-\cos(a-x)=(\cos a\cos x-\sin a\sin x)-(\cos a\cos x+\sin a\sin x).
Os termos \cos a\cos x se cancelam, ficando
\cos(a+x)-\cos(a-x)=-2\sin a\sin x.

Passo 5

Colocando numerador e denominador simplificados na razão:
\frac{\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\cos(a+x)-\cos(a-x)}=\frac{2\cos a\sin x}{-2\sin a\sin x}.
Podemos cancelar o fator comum 2\sin x desde que \sin x\neq 0. Após cancelamento obtemos (para pontos onde a expressão está definida)
\frac{\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\cos(a+x)-\cos(a-x)}=-\frac{\cos a}{\sin a}=-\cot a.
Observação importante sobre cancelamento: a simplificação algébrica acima é válida para valores de x tais que \sin x\neq0. Para estudar o limite x\to a vamos usar essa expressão simplificada e a continuidade quando possível.

Passo 6

Agora tomamos o limite x\to a.
  • Se \sin a\neq 0: a expressão simplificada -\cot a é um número constante (não depende de x) e é contínua na vizinhança de a. Logo
\lim_{x\to a}\left(\frac{\sin(a+x)-\sin(a-x)}{\cos(a+x)-\cos(a-x)}\right)=-\cot a.
  • Se \sin a=0 (isto é, a=k\pi para algum inteiro k): olhe a fórmula do denominador que obtivemos:
\cos(a+x)-\cos(a-x)=-2\sin a\sin x.
Se \sin a=0 então \cos(a+x)-\cos(a-x)=0 para todo x. Assim o denominador é identicamente zero e a razão original não está definida em nenhum ponto da vizinhança de a (não existe função bem definida para tomar o limite como valor finito). Por exemplo, para a=0 a expressão fica \dfrac{2\sin x}{0}, claramente sem sentido. Portanto, quando \sin a=0 o limite não existe (não há limite finito).

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova:
  • Use as fórmulas de adição para expandir termos \sin(a\pm x) e \cos(a\pm x).
  • Factorize e cancele o que for comum (atenção onde a cancelação é permitida).
  • Verifique se a expressão resultante é contínua em a; se for, basta substituir x=a.
  • Sempre trate separadamente valores de a que anulem denominadores constantes (aqui \sin a=0).

Resposta

-\cot a, se \sin a\neq 0
não existe (indefinido), se \sin a=0.

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