Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}\left(\frac{1-\sin 2 x}{\frac{\pi}{4}-x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a \dfrac{\pi}{4}:
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}\left(\frac{1-\sin 2x}{\frac{\pi}{4}-x}\right).
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A expressão no numerador é 1-\sin 2x.
  • A expressão no denominador é \dfrac{\pi}{4}-x.
  • É preciso determinar o valor do limite quando x se aproxima de \dfrac{\pi}{4}.

Passo 2

Verificar a substituição direta para identificar o tipo de indeterminação:
\sin\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
portanto o numerador vale 1-1=0 e o denominador vale \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4}=0. Logo temos uma forma do tipo \dfrac{0}{0}, ou seja, indeterminação, então precisamos manipular a expressão para calcular o limite.

Passo 3

Escolha do método: há pelo menos duas maneiras naturais aqui — usar a regra de L’Hôpital (derivar numerador e denominador) ou fazer uma manipulação trigonométrica que leve à conhecida forma \dfrac{\sin t}{t}. Vou escolher a manipulação trigonométrica porque é elementar, evita derivadas e mostra um procedimento útil para prova/avaliação sem cálculo diferencial. (Como checagem rápida: L’Hôpital daria o mesmo resultado.)

Passo 4

Usar a identidade de soma/diferença de senos. Note que 1=\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right), então o numerador é \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)-\sin 2x. A identidade é:
\sin A-\sin B = 2\cos\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
Aplicando com A=\dfrac{\pi}{2} e B=2x obtemos:
1-\sin 2x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\sin 2x =2\cos\!\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2x}{2}\right)\sin\!\left(\frac{\frac{\pi}{2}-2x}{2}\right).
Simplificando os argumentos:
\frac{\frac{\pi}{2}+2x}{2}=\frac{\pi}{4}+x,\qquad \frac{\frac{\pi}{2}-2x}{2}=\frac{\pi}{4}-x.
Portanto
1-\sin 2x = 2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right).

Passo 5

Substituir essa expressão no limite:
\frac{1-\sin 2x}{\frac{\pi}{4}-x} =\frac{2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{\frac{\pi}{4}-x} =2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{\frac{\pi}{4}-x}.

Passo 6

Avaliar o limite usando propriedades conhecidas:
  • Quando x\to\frac{\pi}{4}, o fator \frac{\pi}{4}-x\to 0. Seja t=\frac{\pi}{4}-x; então t\to 0 e a razão \dfrac{\sin t}{t}\to 1 (limite trigonométrico fundamental, pode ser justificado por aproximação \sin t\sim t ou pelo teorema do sanduíche).
  • O outro fator tende a
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\Big|_{x=\frac{\pi}{4}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Juntando tudo:
\lim_{x\to\frac{\pi}{4}}2\cos\!\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{\frac{\pi}{4}-x} =2\cdot 0 \cdot 1 = 0.

Passo 7

Portanto o limite vale 0.

Resposta

0

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