Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}+7 x^{2}+4 \sin ^{2} 10 x}{x+5 x^{2}-9 \cos ^{3} 4 x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\frac{1}{x}+7x^{2}+4\sin^{2}10x}{x+5x^{2}-9\cos^{3}4x}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Há termos polinomiais em x: 7x^{2} no numerador e 5x^{2} no denominador.
  • Existem termos de menor ordem em x: \dfrac{1}{x} e x (grau 1).
  • Existem termos trigonométricos acoplados a constantes: 4\sin^{2}10x e -9\cos^{3}4x.
  • Observação útil (dados do enunciado): para todo t vale 0\le\sin^{2}t\le1 e -1\le\cos^{3}t\le1.
O que é pedido: calcular o valor numérico do limite quando x\to+\infty.

Passo 2

Estratégia (breve e prática para a prova): quando x\to\infty os termos de maior potência de x dominam a expressão racional. Para ver isso de forma algébrica, vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente, que é x^{2}. Isso deixa cada termo na forma de uma constante mais termos que tendem a zero quando x\to\infty. Agora aplico isso explicitamente.
Dividindo numerador e denominador por x^{2} obtemos
\frac{\frac{1}{x}+7x^{2}+4\sin^{2}10x}{x+5x^{2}-9\cos^{3}4x} = \frac{\dfrac{1}{x^{3}}+7+\dfrac{4\sin^{2}10x}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x}+5-\dfrac{9\cos^{3}4x}{x^{2}}}.
Explicando cada transformação:
  • \dfrac{1/x}{x^{2}}=\dfrac{1}{x^{3}}.
  • 7x^{2}/x^{2}=7.
  • 4\sin^{2}10x / x^{2}=\dfrac{4\sin^{2}10x}{x^{2}}.
  • x/x^{2}=\dfrac{1}{x}.
  • 5x^{2}/x^{2}=5.
  • -9\cos^{3}4x/x^{2}=-\dfrac{9\cos^{3}4x}{x^{2}}.

Passo 3

Agora analisamos o comportamento quando x\to+\infty de cada termo:
  • \dfrac{1}{x^{3}}\to0 e \dfrac{1}{x}\to0 porque potências negativas de x tendem a zero quando x\to\infty.
  • Para o termo com \sin^{2}10x: como 0\le\sin^{2}10x\le1, tem-se 0\le\frac{4\sin^{2}10x}{x^{2}}\le\frac{4}{x^{2}},e \dfrac{4}{x^{2}}\to0, logo por confronto \dfrac{4\sin^{2}10x}{x^{2}}\to0.
  • Para o termo com \cos^{3}4x: como -1\le\cos^{3}4x\le1, tem-se -\frac{9}{x^{2}}\le -\frac{9\cos^{3}4x}{x^{2}}\le\frac{9}{x^{2}},e \dfrac{9}{x^{2}}\to0, logo -\dfrac{9\cos^{3}4x}{x^{2}}\to0. Assim todos os termos que não são constantes tendem a zero.

Passo 4

Tomando limite termo a termo na expressão obtida no Passo 3, obtemos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x^{3}}+7+\dfrac{4\sin^{2}10x}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x}+5-\dfrac{9\cos^{3}4x}{x^{2}}} =\frac{0+7+0}{0+5-0}=\frac{7}{5}.
Comentário didático: na prática de prova, identificar o maior grau ( x^{2} aqui), dividir por ele e usar que termos como \dfrac{1}{x^{k}}\to0 e que funções trigonométricas são limitadas torna o cálculo direto. Outra forma equivalente seria fatorar x^{2} de numerador e denominador e simplificar.

Passo 5

Exemplo curto para fixar a ideia: considere \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{3}+\sin x}{2x^{3}-\cos x}. Dividindo por x^{3} obtém-se \dfrac{3+\sin x/x^{3}}{2-\cos x/x^{3}}\to\dfrac{3}{2} porque \sin x/x^{3}\to0 e \cos x/x^{3}\to0. Mesmo raciocínio usado na questão principal.

Resposta

\dfrac{7}{5}

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