Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Há termos polinomiais em
: no numerador e no denominador. - Existem termos de menor ordem em
: e (grau 1). - Existem termos trigonométricos acoplados a constantes:
e . - Observação útil (dados do enunciado): para todo
vale e .
O que é pedido: calcular o valor numérico do limite quando
.
Passo 2
Estratégia (breve e prática para a prova): quando
os termos de maior potência de
dominam a expressão racional. Para ver isso de forma algébrica, vamos dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente, que é
. Isso deixa cada termo na forma de uma constante mais termos que tendem a zero quando
. Agora aplico isso explicitamente.
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Explicando cada transformação:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Passo 3
Agora analisamos o comportamento quando
de cada termo:
-
e porque potências negativas de tendem a zero quando . - Para o termo com
: como , tem-se e , logo por confronto . - Para o termo com
: como , tem-se e , logo . Assim todos os termos que não são constantes tendem a zero.
Passo 4
Tomando limite termo a termo na expressão obtida no Passo 3, obtemos
Comentário didático: na prática de prova, identificar o maior grau (
aqui), dividir por ele e usar que termos como
e que funções trigonométricas são limitadas torna o cálculo direto. Outra forma equivalente seria fatorar
de numerador e denominador e simplificar.
Passo 5
Exemplo curto para fixar a ideia: considere
. Dividindo por
obtém-se
porque
e
. Mesmo raciocínio usado na questão principal.