Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan \left(x^{2}+1\right)}{\frac{1}{x^{2}+1}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan\!\left(x^{2}+1\right)}{\frac{1}{x^{2}+1}}\right).
Informações dadas:
  • A função envolvida é a função arctan aplicada a x^{2}+1.
  • O numerador é \frac{\pi}{2}-\arctan\!\left(x^{2}+1\right).
  • O denominador é \frac{1}{x^{2}+1}.
  • A variável tende para +\infty.

Passo 2

Primeiro simplifico a expressão, fazendo a substituição natural t=x^{2}+1. Quando x\to+\infty tem-se t\to+\infty. Assim o limite é equivalente a
\lim_{t\to+\infty}\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan(t)}{\frac{1}{t}}.
Isso pode também ser escrito como
\lim_{t\to+\infty} t\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(t)\bigr),
mas é conveniente considerar a forma de quociente para aplicar uma regra de limites.

Passo 3

Analiso a forma indeterminada. Quando t\to+\infty,
  • \arctan(t)\to\tfrac{\pi}{2}, logo o numerador \frac{\pi}{2}-\arctan(t)\to 0.
  • O denominador \frac{1}{t}\to 0.
    Portanto estamos diante de uma indeterminação do tipo 0/0. Nessas situações é adequado usar a regra de l’Hôpital (quando as hipóteses dela são satisfeitas).

Passo 4

Vou enunciar a regra de l’Hôpital de forma prática (sem prova): se f(t) e g(t) são diferenciáveis numa vizinhança de +\infty (exceto possivelmente em pontos isolados) e \lim_{t\to+\infty} f(t)=\lim_{t\to+\infty} g(t)=0 (ou ambos \pm\infty), e se \lim_{t\to+\infty}\dfrac{f'(t)}{g'(t)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{t\to+\infty}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to+\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)}.
No nosso caso, f(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan(t) e g(t)=\frac{1}{t}. Ambas são diferenciáveis para t>0 e tendem a 0 quando t\to+\infty, então podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 5

Calculo as derivadas:
  • Derivada de f(t)=\frac{\pi}{2}-\arctan(t): a constante some e \dfrac{d}{dt}\arctan(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}}. Logo
f'(t)=-\frac{1}{1+t^{2}}.
  • Derivada de g(t)=\frac{1}{t}=t^{-1}: usando a regra da potência
g'(t)=-t^{-2}=-\frac{1}{t^{2}}.

Passo 6

Aplicando l’Hôpital, o limite é igual ao limite do quociente das derivadas:
\lim_{t\to+\infty}\frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\to+\infty}\frac{f'(t)}{g'(t)} = \lim_{t\to+\infty}\frac{-\dfrac{1}{1+t^{2}}}{-\dfrac{1}{t^{2}}} = \lim_{t\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{1+t^{2}}}{\dfrac{1}{t^{2}}}.
Simplifico a fração dividindo as razões:
\frac{\dfrac{1}{1+t^{2}}}{\dfrac{1}{t^{2}}}=\frac{t^{2}}{1+t^{2}}.
Agora basta tomar o limite quando t\to+\infty:
\lim_{t\to+\infty}\frac{t^{2}}{1+t^{2}}=1,
pois os termos de maior grau no numerador e denominador são ambos t^{2}.

Passo 7

Concluo que o limite inicial vale 1. Comentário prático: uma forma alternativa de ver isso é lembrar a expansão assintótica \arctan t=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{1}{t}+o(\tfrac{1}{t}) quando t\to\infty; multiplicando por t obtém-se t(\tfrac{\pi}{2}-\arctan t)\to 1. A aplicação de l’Hôpital acima formaliza esse raciocínio.

Resposta

1

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