Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função envolvida é a função arctan aplicada a
. - O numerador é
. - O denominador é
. - A variável tende para
.
Passo 2
Primeiro simplifico a expressão, fazendo a substituição natural
. Quando
tem-se
. Assim o limite é equivalente a
Isso pode também ser escrito como
mas é conveniente considerar a forma de quociente para aplicar uma regra de limites.
Passo 3
Analiso a forma indeterminada. Quando
,
-
, logo o numerador . - O denominador
.
Portanto estamos diante de uma indeterminação do tipo. Nessas situações é adequado usar a regra de l’Hôpital (quando as hipóteses dela são satisfeitas).
Passo 4
Vou enunciar a regra de l’Hôpital de forma prática (sem prova): se
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em pontos isolados) e
(ou ambos
), e se
existe (ou é
), então
No nosso caso,
e
. Ambas são diferenciáveis para
e tendem a
quando
, então podemos aplicar l’Hôpital.
Passo 5
Calculo as derivadas:
- Derivada de
: a constante some e . Logo
- Derivada de
: usando a regra da potência
Passo 6
Aplicando l’Hôpital, o limite é igual ao limite do quociente das derivadas:
Simplifico a fração dividindo as razões:
Agora basta tomar o limite quando
:
pois os termos de maior grau no numerador e denominador são ambos
.
Passo 7
Concluo que o limite inicial vale
. Comentário prático: uma forma alternativa de ver isso é lembrar a expansão assintótica
quando
; multiplicando por
obtém-se
. A aplicação de l’Hôpital acima formaliza esse raciocínio.
Resposta
1