Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow+\infty}(x+\sin 2 x)=

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x+\sin 2x\bigr).
Informações relevantes fornecidas/úteis:
  • A expressão é definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Para todo x vale a desigualdade \,-1\le \sin 2x\le 1 (essa é uma propriedade básica da função seno).
  • A pergunta é se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o valor (pode ser um número finito ou +\infty).

Passo 2

Usar a propriedade \,-1\le \sin 2x\le 1 para obter desigualdades envolvendo a expressão que queremos estudar. Somando x em todos os termos da desigualdade obtemos, para todo x,
x-1 \le x+\sin 2x \le x+1.
Essa desigualdade nos dá uma “faixa” onde a função x+\sin 2x fica para cada x.

Passo 3

Calcular os limites das funções que formam as bordas da faixa:
\lim_{x\to+\infty}(x-1)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}(x+1)=+\infty.
Explicação curta: funções do tipo x+c (com c constante) tendem a +\infty quando x\to+\infty porque, para qualquer M>0, escolhendo X=M+1 temos x>X\Rightarrow x-1>M. Isso é a definição de divergir para +\infty.

Passo 4

Aplicar o princípio (versão estendida) do “princípio do sanduíche” / teorema do confronto: se uma função g(x) satisfaz
u(x)\le g(x)\le v(x)
para todo x grande o suficiente, e se \lim_{x\to+\infty}u(x)=\lim_{x\to+\infty}v(x)=+\infty, então \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty. Aqui u(x)=x-1, g(x)=x+\sin2x e v(x)=x+1. Como ambas as bordas tendem a +\infty, a função do meio também tende a +\infty.
Intuição rápida: o termo oscilante \sin 2x é sempre limitado entre -1 e 1, enquanto x cresce sem limite; portanto o “ruído” trigonométrico não impede o crescimento indefinido.

Passo 5

Prova direta usando a definição de limite infinito (passo rigoroso, útil em prova):
Seja M>0. Escolha X=M+1. Para todo x>X vale x-1>X-1=M. Pela desigualdade do Passo 2 segue que
x+\sin 2x \ge x-1 > M.
Portanto, para todo M>0 existe X=M+1 tal que x>X\Rightarrow x+\sin2x>M. Isso significa exatamente que
\lim_{x\to+\infty}\bigl(x+\sin 2x\bigr)=+\infty.

Passo 6

Dica prática para prova: sempre que tiver algo do tipo x + (função limitada), a parte limitada não afeta o comportamento infinito. Exemplos: \lim_{x\to+\infty}(x+\cos x)=+\infty, \lim_{x\to-\infty}(x+\sin x)=-\infty (neste caso o sinal muda com x\to-\infty). Vai tranquilo — o termo linear domina o termo trigonométrico.

Resposta

+\infty

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