Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações relevantes fornecidas/úteis:
- A expressão é definida para todo
. - Para todo
vale a desigualdade (essa é uma propriedade básica da função seno). - A pergunta é se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o valor (pode ser um número finito ou
).
Passo 2
Usar a propriedade
para obter desigualdades envolvendo a expressão que queremos estudar. Somando
em todos os termos da desigualdade obtemos, para todo
,
Essa desigualdade nos dá uma “faixa” onde a função
fica para cada
.
Passo 3
Calcular os limites das funções que formam as bordas da faixa:
Explicação curta: funções do tipo
(com
constante) tendem a
quando
porque, para qualquer
, escolhendo
temos
. Isso é a definição de divergir para
.
Passo 4
Aplicar o princípio (versão estendida) do “princípio do sanduíche” / teorema do confronto: se uma função
satisfaz
para todo
grande o suficiente, e se
, então
. Aqui
,
e
. Como ambas as bordas tendem a
, a função do meio também tende a
.
Intuição rápida: o termo oscilante
é sempre limitado entre
e
, enquanto
cresce sem limite; portanto o “ruído” trigonométrico não impede o crescimento indefinido.
Passo 5
Prova direta usando a definição de limite infinito (passo rigoroso, útil em prova):
Seja . Escolha
. Para todo
vale
. Pela desigualdade do Passo 2 segue que
Seja
Portanto, para todo
existe
tal que
. Isso significa exatamente que
Passo 6
Dica prática para prova: sempre que tiver algo do tipo
(função limitada), a parte limitada não afeta o comportamento infinito. Exemplos:
,
(neste caso o sinal muda com
). Vai tranquilo — o termo linear domina o termo trigonométrico.