Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{e^{x}-e^{2}}{x-2}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 2}\left(\frac{e^{x}-e^{2}}{x-2}\right).
Informações dadas:
  • A função envolvida é e^{x}.
  • O ponto de aproximação é x\to 2.
    O que se quer: calcular o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro teste rápido: substituir x=2 diretamente para ver a forma do limite.
\text{No numerador: }e^{2}-e^{2}=0,\qquad\text{no denominador: }2-2=0.
Logo o limite tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Isso indica que precisamos manipular a expressão ou reconhecer uma interpretação que nos permita calcular o valor limite.

Passo 3

Observação-chave (interpretação útil): a expressão é exatamente o quociente de diferença usado na definição de derivada. Para uma função f e ponto a,
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
quando esse limite existir. Aqui f(x)=e^{x} e a=2. Portanto o limite pedido é f'(2), ou seja, a derivada de e^{x} avaliada em x=2. Em palavras: o limite mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de e^{x} no ponto x=2.

Passo 4

Vamos calcular f'(2). Uma manipulação algébrica simples ajuda: faça h=x-2. Quando x\to2 temos h\to0. Reescrevendo a expressão,
\lim_{x\to2}\frac{e^{x}-e^{2}}{x-2} = \lim_{h\to0}\frac{e^{2+h}-e^{2}}{h}.
Fatorando e^{2},
\lim_{h\to0}\frac{e^{2+h}-e^{2}}{h} = \lim_{h\to0} e^{2}\,\frac{e^{h}-1}{h} = e^{2}\cdot\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.
Portanto basta calcular \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}.

Passo 5

Agora vamos avaliar \displaystyle L:=\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}. Uma maneira direta e elementar é usar a série de Taylor (série de Maclaurin) da função exponencial, que converge para todo h:
e^{h}=1+h+\frac{h^{2}}{2!}+\frac{h^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por h obtemos
\frac{e^{h}-1}{h}=1+\frac{h}{2!}+\frac{h^{2}}{3!}+\cdots.
Quando h\to0, todos os termos com h,h^{2},\dots vão a zero, sobrando
\lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1.
(Se preferir, pense intuitivamente: para pequenos h, e^{h}\approx 1+h, então \dfrac{e^{h}-1}{h}\approx1. A série torna isso preciso.)

Passo 6

Voltando à expressão do Passo 4, como \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{e^{h}-1}{h}=1, temos
\lim_{x\to2}\frac{e^{x}-e^{2}}{x-2}=e^{2}\cdot 1 = e^{2}.
Intuitivamente: a derivada de e^{x} é e^{x}, então a inclinação em x=2 é e^{2}.

Resposta

\displaystyle e^{2}

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