Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função envolvida é
. - O ponto de aproximação é
.
O que se quer: calcular o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro teste rápido: substituir
diretamente para ver a forma do limite.
Logo o limite tem a forma indeterminada
. Isso indica que precisamos manipular a expressão ou reconhecer uma interpretação que nos permita calcular o valor limite.
Passo 3
Observação-chave (interpretação útil): a expressão é exatamente o quociente de diferença usado na definição de derivada. Para uma função
e ponto
,
quando esse limite existir. Aqui
e
. Portanto o limite pedido é
, ou seja, a derivada de
avaliada em
. Em palavras: o limite mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 4
Vamos calcular
. Uma manipulação algébrica simples ajuda: faça
. Quando
temos
. Reescrevendo a expressão,
Fatorando
,
Portanto basta calcular
.
Passo 5
Agora vamos avaliar
. Uma maneira direta e elementar é usar a série de Taylor (série de Maclaurin) da função exponencial, que converge para todo
:
Subtraindo 1 e dividindo por
obtemos
Quando
, todos os termos com
vão a zero, sobrando
(Se preferir, pense intuitivamente: para pequenos
,
, então
. A série torna isso preciso.)
Passo 6
Voltando à expressão do Passo 4, como
, temos
Intuitivamente: a derivada de
é
, então a inclinação em
é
.