Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite:
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende a -\infty.
  • A expressão é \left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}.
    Observação sobre a forma indeterminada: à medida que x\to-\infty temos \displaystyle 1+\frac{1}{x}\to 1 e \displaystyle \frac{x}{2}\to -\infty. Portanto a expressão é de tipo indeterminado 1^{\pm\infty}.

Passo 2

Plano de solução (sem resolver ainda): uma técnica padrão para limites do tipo 1^{\text{algo}} é tomar logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo (que costuma ficar numa forma do tipo 0\cdot\infty ou \frac{0}{0}), e então exponenciar o resultado. Isso é válido porque a função exponencial é contínua, então se \ln L existe e é igual a A, então o limite original é e^{A}.

Passo 3

Defino L como o limite procurado quando existir:
L=\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}.
Se L>0, então posso aplicar o logaritmo natural e obter
\ln L=\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right),
desde que o limite à direita exista (pode ser finito ou -\infty). Note que para x<-1 temos 1+\dfrac{1}{x}>0, então a expressão está bem definida para x suficientemente negativo.

Passo 4

Para simplificar o limite do logaritmo, faço a substituição
y=\frac{1}{x}.
Quando x\to -\infty temos y\to 0^-. Reescrevendo o expoente:
\frac{x}{2}\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{2y}\ln(1+y).
Portanto
\ln L=\lim_{y\to 0^-}\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln(1+y)}{y}.

Passo 5

Agora uso um limite clássico e fácil de justificar: \displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}{y}=1. Uma justificativa rápida por L’Hôpital:
  • O quociente \dfrac{\ln(1+y)}{y} é da forma \dfrac{0}{0} quando y\to 0.
  • Derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{1/(1+y)}{1}=\dfrac{1}{1+y}.
  • Assim por L’Hôpital,
\lim_{y\to 0}\frac{\ln(1+y)}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{1}{1+y}=\frac{1}{1+0}=1.
Como o limite acima existe e vale 1, voltando ao cálculo de \ln L temos
\ln L=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Concluo usando a continuidade da exponencial: se \ln L=\dfrac{1}{2} então
L=e^{\frac{1}{2}}.
Portanto o limite pedido existe e vale e^{1/2}, que também pode ser escrito como \sqrt{e}.

Resposta

\sqrt{e}

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