Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
tende a . - A expressão é
.
Observação sobre a forma indeterminada: à medida quetemos e . Portanto a expressão é de tipo indeterminado .
Passo 2
Plano de solução (sem resolver ainda): uma técnica padrão para limites do tipo
é tomar logaritmo natural da expressão, calcular o limite do logaritmo (que costuma ficar numa forma do tipo
ou
), e então exponenciar o resultado. Isso é válido porque a função exponencial é contínua, então se
existe e é igual a
, então o limite original é
.
Passo 3
Defino
como o limite procurado quando existir:
Se
, então posso aplicar o logaritmo natural e obter
desde que o limite à direita exista (pode ser finito ou
). Note que para
temos
, então a expressão está bem definida para
suficientemente negativo.
Passo 4
Para simplificar o limite do logaritmo, faço a substituição
Quando
temos
. Reescrevendo o expoente:
Portanto
Passo 5
Agora uso um limite clássico e fácil de justificar:
. Uma justificativa rápida por L’Hôpital:
- O quociente
é da forma quando . - Derivando numerador e denominador obtemos
. - Assim por L’Hôpital,
Como o limite acima existe e vale
, voltando ao cálculo de
temos
Passo 6
Concluo usando a continuidade da exponencial: se
então
Portanto o limite pedido existe e vale
, que também pode ser escrito como
.