Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- Quando
temos porque . - Quando
também . - Logo a expressão tem a forma indeterminada
. A tarefa é remover essa indeterminação e achar o valor do limite.
Passo 2
Escolha do método: uma maneira natural é usar a substituição
porque então
e a aproximação quando
corresponde a
. Essa mudança transforma o problema em algo que envolve funções trigonométricas pequenas, onde o limite padrão
é útil.
Passo 3
Fazer a substituição e ver as consequências. Se
então, para
, tem-se
. Reescrevendo a expressão:
Passo 4
Usar a identidade trigonométrica
que é direta (esta identidade vem da fórmula do cosseno para o dobro do ângulo). Assim
já que para
a função seno é positiva e podemos tirar a raiz positiva.
Passo 5
Substituir na expressão e simplificar:
Colocando em forma conveniente para usar o limite padrão:
Passo 6
Aplicar o limite conhecido
o que implica
Portanto, tomando limite em ambos os lados,
Passo 7
Conclusão: voltando à variável original
,