Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(\frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1-x}}\right)=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1^{-}}\left(\frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1-x}}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • Quando x\to 1^{-} temos \operatorname{arccos} x \to 0 porque \operatorname{arccos} 1 = 0.
  • Quando x\to 1^{-} também \sqrt{1-x}\to 0.
  • Logo a expressão tem a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. A tarefa é remover essa indeterminação e achar o valor do limite.

Passo 2

Escolha do método: uma maneira natural é usar a substituição
x=\cos t,
porque então \operatorname{arccos} x = t e a aproximação quando x\to 1^{-} corresponde a t\to 0^{+}. Essa mudança transforma o problema em algo que envolve funções trigonométricas pequenas, onde o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 é útil.

Passo 3

Fazer a substituição e ver as consequências. Se x=\cos t então, para x\to 1^{-}, tem-se t=\operatorname{arccos} x\to 0^{+}. Reescrevendo a expressão:
\frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1-x}}=\frac{t}{\sqrt{1-\cos t}}.

Passo 4

Usar a identidade trigonométrica
1-\cos t = 2\sin^{2}\left(\frac{t}{2}\right),
que é direta (esta identidade vem da fórmula do cosseno para o dobro do ângulo). Assim
\sqrt{1-\cos t}=\sqrt{2}\,\sin\left(\frac{t}{2}\right),
já que para t\to 0^{+} a função seno é positiva e podemos tirar a raiz positiva.

Passo 5

Substituir na expressão e simplificar:
\frac{t}{\sqrt{1-\cos t}}=\frac{t}{\sqrt{2}\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)}.
Colocando em forma conveniente para usar o limite padrão:
\frac{t}{\sqrt{2}\,\sin\left(\frac{t}{2}\right)} = \sqrt{2}\,\cdot\frac{\tfrac{t}{2}}{\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)}.

Passo 6

Aplicar o limite conhecido
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1,
o que implica
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\tfrac{t}{2}}{\sin\left(\tfrac{t}{2}\right)}=1.
Portanto, tomando limite em ambos os lados,
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{t}{\sqrt{1-\cos t}} = \sqrt{2}\cdot 1 = \sqrt{2}.

Passo 7

Conclusão: voltando à variável original x,
\lim_{x\to 1^{-}}\left(\frac{\operatorname{arccos} x}{\sqrt{1-x}}\right)=\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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