Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que se quer:
- A expressão é a diferença entre uma raiz cúbica
e . - O limite é quando
tende para . - Objetivo: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada de forma intuitiva): quando temos diferença entre duas raízes cúbicas (ou em geral entre raízes), é útil multiplicar por um fator que “remova” a raiz do numerador/denominador. Para diferenças de cubos existe uma identidade algébrica muito prática. Vou apresentar essa identidade e depois aplicá-la.
Identidade para cubos: se
e
, então
Derivação rápida (para ficar claro): multiplica-se numerador e denominador por
e usa-se que
. Assim a identidade está justificada.
Passo 3
Aplique a identidade ao nosso caso, tomando
Então
Agora precisamos analisar o denominador quando
.
Passo 4
Estudar o comportamento assintótico de
. Escreve-se o radicando fatorando
:
Defina
Note que
. Logo
Portanto
(isto é,
).
Passo 5
Agora escrevemos o denominador em função de
e
:
onde para brevidade escrevi
em vez de
. Como
, temos
logo
Portanto, para
grande, o denominador comporta-se como
. Mais precisamente,
onde
quando
.
Passo 6
Volte à expressão do Passo 3 e divida numerador e denominador por
:
Tomando limite quando
, o numerador tende para
(pois os termos com
vão a zero) e o fator entre colchetes no denominador tende para
. Portanto
Passo 7
Como checagem alternativa, é possível usar a expansão em série (binomial para potência fracionária): para
pequeno,
Então
Subtraindo
dá aproximadamente
. Como
, obtemos novamente
. Isso confirma o resultado de forma intuitiva.