Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+2 x^{2}-5 x+2}-x\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-5x+2}-x\right).
Informações dadas e o que se quer:
  • A expressão é a diferença entre uma raiz cúbica \sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-5x+2} e x.
  • O limite é quando x tende para +\infty.
  • Objetivo: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada de forma intuitiva): quando temos diferença entre duas raízes cúbicas (ou em geral entre raízes), é útil multiplicar por um fator que “remova” a raiz do numerador/denominador. Para diferenças de cubos existe uma identidade algébrica muito prática. Vou apresentar essa identidade e depois aplicá-la.
Identidade para cubos: se A=\sqrt[3]{u} e B=\sqrt[3]{v}, então
A-B=\frac{u-v}{A^{2}+AB+B^{2}}.
Derivação rápida (para ficar claro): multiplica-se numerador e denominador por A^{2}+AB+B^{2} e usa-se que (A-B)(A^{2}+AB+B^{2})=A^{3}-B^{3}=u-v. Assim a identidade está justificada.

Passo 3

Aplique a identidade ao nosso caso, tomando
A=\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-5x+2},\qquad B=x=\sqrt[3]{x^{3}}.
Então
\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-5x+2}-x = \frac{(x^{3}+2x^{2}-5x+2)-x^{3}}{A^{2}+AB+B^{2}} = \frac{2x^{2}-5x+2}{A^{2}+AB+B^{2}}.
Agora precisamos analisar o denominador quando x\to+\infty.

Passo 4

Estudar o comportamento assintótico de A. Escreve-se o radicando fatorando x^{3}:
A=\sqrt[3]{x^{3}\left(1+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}\right)} = x\left(1+\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}\right)^{1/3}.
Defina
a(x)=\frac{2}{x}-\frac{5}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}.
Note que \lim_{x\to+\infty}a(x)=0. Logo
\frac{A}{x}=\left(1+a(x)\right)^{1/3}\longrightarrow 1\quad\text{quando }x\to+\infty.
Portanto A\sim x (isto é, A/x\to1).

Passo 5

Agora escrevemos o denominador em função de x e a(x):
A^{2}+AB+B^{2} = x^{2}\left[(1+a)^{2/3}+(1+a)^{1/3}+1\right],
onde para brevidade escrevi a em vez de a(x). Como a\to0, temos
(1+a)^{2/3}\to1,\qquad (1+a)^{1/3}\to1,
logo
(1+a)^{2/3}+(1+a)^{1/3}+1 \longrightarrow 3.
Portanto, para x grande, o denominador comporta-se como 3x^{2}. Mais precisamente,
A^{2}+AB+B^{2}=x^{2}\left(3+o(1)\right),
onde o(1)\to0 quando x\to+\infty.

Passo 6

Volte à expressão do Passo 3 e divida numerador e denominador por x^{2}:
\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-5x+2}-x = \frac{2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{(1)\left[(1+a)^{2/3}+(1+a)^{1/3}+1\right]}.
Tomando limite quando x\to+\infty, o numerador tende para 2 (pois os termos com 1/x vão a zero) e o fator entre colchetes no denominador tende para 3. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}-5x+2}-x\right)=\frac{2}{3}.

Passo 7

Como checagem alternativa, é possível usar a expansão em série (binomial para potência fracionária): para a pequeno,
(1+a)^{1/3}=1+\frac{1}{3}a+o(a).
Então
A=x\bigl(1+\tfrac{1}{3}a+o(a)\bigr)=x+\frac{x}{3}a+o(xa).
Subtraindo x dá aproximadamente \dfrac{x}{3}a. Como x a=\;2-\dfrac{5}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}\to 2, obtemos novamente \dfrac{2}{3}. Isso confirma o resultado de forma intuitiva.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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