Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{3}{5 x}\right)^{x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3}{5x}\right)^{x}.
Informações dadas:
  • A variável tende para +\infty.
  • A expressão tem a forma \left(1+\dfrac{3}{5x}\right)^{x}, ou seja, uma base que tende para 1 e um expoente que tende para +\infty.

Passo 2

Estratégia inicial (sem resolver ainda): uma técnica muito útil para limites desse tipo é tomar o logaritmo natural da expressão, pois transforma potência em produto e facilita o uso de limites conhecidos. Seja
y=\left(1+\frac{3}{5x}\right)^{x}.
Vamos calcular \lim_{x\to+\infty} y encontrando primeiro \lim_{x\to+\infty}\ln y.

Passo 3

Calcule o logaritmo:
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{3}{5x}\right).
Agora manipule essa expressão de forma a isolar uma razão cujo limite é conhecido. Multiplicando e dividindo por \dfrac{3}{5x} obtemos
\ln y = x\ln\!\left(1+\frac{3}{5x}\right) = \frac{3}{5}\cdot\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{3}{5x}\right)}{\dfrac{3}{5x}}.
Note que \dfrac{3}{5x}\to 0 quando x\to+\infty. Portanto o que resta avaliar é o limite da razão
\frac{\ln(1+u)}{u}
quando u\to 0, com u=\dfrac{3}{5x}.

Passo 4

Avaliação do limite conhecido. Mostre que
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Demonstração simples usando L’Hôpital: para u\to 0 tanto o numerador quanto o denominador vão a 0, então derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{\dfrac{d}{du}\ln(1+u)}{\dfrac{d}{du}u} =\lim_{u\to 0}\frac{1}{1+u}=1.
(Alternativa intuitiva: pela expansão \ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+\cdots, a razão tende a 1.)

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, volte para \ln y:
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \frac{3}{5}\cdot\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{3}{5x}\right)}{\dfrac{3}{5x}} = \frac{3}{5}\cdot 1 = \frac{3}{5}.
Portanto \ln y\to \dfrac{3}{5}, o que implica que
y=\left(1+\frac{3}{5x}\right)^{x}\longrightarrow e^{\tfrac{3}{5}}.

Passo 6

Interpretação final e dica de memória: limites do tipo \left(1+\dfrac{a}{x}\right)^{x} com x\to\infty convergem para e^{a}. Aqui a=\dfrac{3}{5}, logo o resultado é e^{3/5}. Isso é útil para reconhecer rapidamente casos semelhantes em provas.

Resposta

e^{3/5}

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