Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável tende para
. - A expressão tem a forma
, ou seja, uma base que tende para e um expoente que tende para .
Passo 2
Estratégia inicial (sem resolver ainda): uma técnica muito útil para limites desse tipo é tomar o logaritmo natural da expressão, pois transforma potência em produto e facilita o uso de limites conhecidos. Seja
Vamos calcular
encontrando primeiro
.
Passo 3
Calcule o logaritmo:
Agora manipule essa expressão de forma a isolar uma razão cujo limite é conhecido. Multiplicando e dividindo por
obtemos
Note que
quando
. Portanto o que resta avaliar é o limite da razão
quando
, com
.
Passo 4
Avaliação do limite conhecido. Mostre que
Demonstração simples usando L’Hôpital: para
tanto o numerador quanto o denominador vão a
, então derivando numerador e denominador obtemos
(Alternativa intuitiva: pela expansão
, a razão tende a
.)
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, volte para
:
Portanto
, o que implica que
Passo 6
Interpretação final e dica de memória: limites do tipo
com
convergem para
. Aqui
, logo o resultado é
. Isso é útil para reconhecer rapidamente casos semelhantes em provas.