Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas (claras e simples):
- A função considerada é
. - O ponto onde
tende é . - Não foi especificado se é limite lateral; portanto devemos analisar o limite bilateral e, se necessário, os limites laterais.
Passo 2
Lembrete útil e identidade que vamos usar:
Portanto
Observe que
. Quando o denominador de uma fração envolve
que tende a 0, a razão pode tornar-se muito grande em módulo (tender a
). Vamos portanto estudar o comportamento de
e
ao nos aproximarmos de
pelas duas direções.
Passo 3
Análise do limite pela esquerda (
):
- Para
próximo de pela esquerda, tem-se e (positivo e próximo de zero). - Logo
. - Como
(um número finito e positivo), dividir algo que tende a por um número que tende a mantém o crescimento para . Assim
Passo 4
Análise do limite pela direita (
):
- Para
próximo de pela direita, tem-se e (negativo e próximo de zero). - Logo
. - Dividindo por
não muda o sinal infinito, então
Passo 5
Conclusão: os limites laterais existem, mas são diferentes: o da esquerda é
e o da direita é
. Pelo significado de limite bilateral, para existir o limite
é preciso que os dois limites laterais sejam iguais (podendo ser o mesmo infinito). Aqui eles são diferentes, logo o limite bilateral não existe.