Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan x}{x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan x}{x}\right).
Informações dadas (claras e simples):
  • A função considerada é x \mapsto \dfrac{\tan x}{x}.
  • O ponto onde x tende é x=\dfrac{\pi}{2}.
  • Não foi especificado se é limite lateral; portanto devemos analisar o limite bilateral e, se necessário, os limites laterais.

Passo 2

Lembrete útil e identidade que vamos usar:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Portanto
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cos x}.
Observe que \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0. Quando o denominador de uma fração envolve \cos x que tende a 0, a razão pode tornar-se muito grande em módulo (tender a \pm\infty). Vamos portanto estudar o comportamento de \sin x e \cos x ao nos aproximarmos de \tfrac{\pi}{2} pelas duas direções.

Passo 3

Análise do limite pela esquerda ( x\to\frac{\pi}{2}^-):
  • Para x próximo de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda, tem-se \sin x\to 1 e \cos x\to 0^{+} (positivo e próximo de zero).
  • Logo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\to +\infty.
  • Como x\to\tfrac{\pi}{2} (um número finito e positivo), dividir algo que tende a +\infty por um número que tende a \tfrac{\pi}{2}>0 mantém o crescimento para +\infty. Assim
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\tan x}{x}\right)=+\infty.

Passo 4

Análise do limite pela direita ( x\to\frac{\pi}{2}^+):
  • Para x próximo de \tfrac{\pi}{2} pela direita, tem-se \sin x\to 1 e \cos x\to 0^{-} (negativo e próximo de zero).
  • Logo \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\to -\infty.
  • Dividindo por x\to\tfrac{\pi}{2}>0 não muda o sinal infinito, então
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\tan x}{x}\right)=-\infty.

Passo 5

Conclusão: os limites laterais existem, mas são diferentes: o da esquerda é +\infty e o da direita é -\infty. Pelo significado de limite bilateral, para existir o limite \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} é preciso que os dois limites laterais sejam iguais (podendo ser o mesmo infinito). Aqui eles são diferentes, logo o limite bilateral não existe.

Resposta

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}\left(\frac{\tan x}{x}\right)=+\infty
\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\tan x}{x}\right)=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\tan x}{x}\right) não existe.

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