Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arctan x}{x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\arctan x}{x}\right).
Informações dadas:
  • A função envolvida é \arctan x.
  • O ponto em que x tende é 0.
    O que é solicitado: encontrar o valor numérico do limite acima.

Passo 2

Troca de variável que simplifica a expressão. Seja \theta=\arctan x. Então, por definição de arco-tangente, tem-se x=\tan\theta. Quando x\to 0 devemos ter \theta\to 0, pois \arctan é contínua e \arctan 0=0. Substituindo na expressão do limite:
\frac{\arctan x}{x}=\frac{\theta}{\tan\theta}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=\lim_{\theta\to 0}\frac{\theta}{\tan\theta}.

Passo 3

Manipulação algébrica usando identidade trigonométrica. Escrevemos \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}, daí
\frac{\theta}{\tan\theta}=\frac{\theta}{\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}=\theta\cdot\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cos\theta\cdot\frac{\theta}{\sin\theta}.
Assim
\lim_{\theta\to 0}\frac{\theta}{\tan\theta}=\lim_{\theta\to 0}\left(\cos\theta\cdot\frac{\theta}{\sin\theta}\right).

Passo 4

Usar limites conhecidos. Dois fatos clássicos (e que valem para \theta\to 0) são:
\lim_{\theta\to 0}\cos\theta=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1.
Do segundo fato segue que \lim_{\theta\to 0}\dfrac{\theta}{\sin\theta}=1. (Recorde curto: a desigualdade geométrica \cos\theta<\dfrac{\sin\theta}{\theta}<1 para \theta\in(0,\tfrac{\pi}{2}), estendendo por simetria aos negativos, leva pela regra do confronto ao limite 1.)

Passo 5

Aplicando a propriedade do limite do produto (produto de limites quando cada limite existe):
\lim_{\theta\to 0}\left(\cos\theta\cdot\frac{\theta}{\sin\theta}\right) =\left(\lim_{\theta\to 0}\cos\theta\right)\cdot\left(\lim_{\theta\to 0}\frac{\theta}{\sin\theta}\right) =1\cdot 1=1.

Resposta

1

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