Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função envolvida é
. - O ponto em que
tende é .
O que é solicitado: encontrar o valor numérico do limite acima.
Passo 2
Troca de variável que simplifica a expressão. Seja
. Então, por definição de arco-tangente, tem-se
. Quando
devemos ter
, pois
é contínua e
. Substituindo na expressão do limite:
Portanto
Passo 3
Manipulação algébrica usando identidade trigonométrica. Escrevemos
, daí
Assim
Passo 4
Usar limites conhecidos. Dois fatos clássicos (e que valem para
) são:
Do segundo fato segue que
. (Recorde curto: a desigualdade geométrica
para
, estendendo por simetria aos negativos, leva pela regra do confronto ao limite
.)
Passo 5
Aplicando a propriedade do limite do produto (produto de limites quando cada limite existe):