Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável
tende para . - A função em questão é
.
Logo precisamos encontrar o valor numérico desse limite quandose aproxima de .
Passo 2
Ideia geral (fato útil que vou usar): se uma função
é contínua em um ponto
, então
A função
(o arco-seno) é contínua em todo o intervalo
. Como
pertence a
, vale que
é contínua em
. Portanto podemos avaliar a parte
por substituição direta no ponto, desde que tratemos com cuidado a divisão por
, que também é contínua (exceto em
). Aqui o ponto é
, então a razão de funções contínuas é contínua naquele ponto. Conclusão: o limite pode ser obtido simplesmente substituindo
:
Passo 3
Para facilitar a conta, troco o decimal por fração:
Então o limite se torna
Passo 4
Lembrete sobre
:
é o número
em
tal que
. Sabendo que
, segue que
Como seno é ímpar,
, então
(Observe que
está no intervalo principal
, então é a escolha correta.)
Passo 5
Agora calculo a razão:
Dividindo frações: