Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow-0,5}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-0,5}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende para -0,5.
  • A função em questão é x\mapsto \dfrac{\arcsin x}{x}.
    Logo precisamos encontrar o valor numérico desse limite quando x se aproxima de -0,5.

Passo 2

Ideia geral (fato útil que vou usar): se uma função f é contínua em um ponto a, então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
A função \arcsin x (o arco-seno) é contínua em todo o intervalo [-1,1]. Como -0,5 pertence a [-1,1], vale que \arcsin x é contínua em x=-0,5. Portanto podemos avaliar a parte \arcsin x por substituição direta no ponto, desde que tratemos com cuidado a divisão por x, que também é contínua (exceto em x=0). Aqui o ponto é x=-0,5\neq0, então a razão de funções contínuas é contínua naquele ponto. Conclusão: o limite pode ser obtido simplesmente substituindo x=-0,5:
\lim_{x\to-0,5}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)=\frac{\arcsin(-0,5)}{-0,5}.

Passo 3

Para facilitar a conta, troco o decimal por fração:
-0,5=-\tfrac{1}{2}.
Então o limite se torna
\frac{\arcsin\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)}{-\tfrac{1}{2}}.

Passo 4

Lembrete sobre \arcsin: \arcsin y é o número t em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin t=y. Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}, segue que
\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{6}.
Como seno é ímpar, \sin(-t)=-\sin t, então
\arcsin\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{6}.
(Observe que -\tfrac{\pi}{6} está no intervalo principal \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], então é a escolha correta.)

Passo 5

Agora calculo a razão:
\frac{\arcsin\!\left(-\tfrac{1}{2}\right)}{-\tfrac{1}{2}}=\frac{-\tfrac{\pi}{6}}{-\tfrac{1}{2}}.
Dividindo frações:
\frac{-\tfrac{\pi}{6}}{-\tfrac{1}{2}}=\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)\cdot\left(-2\right)=\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

\tfrac{\pi}{3}

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