Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
. - Ao aproximar
de : -
, então . -
.
-
- Portanto a forma do limite é uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Escolha do método: quando um limite apresenta indeterminação do tipo
e as funções envolvidas são diferenciáveis próximos do ponto, uma ferramenta direta é a Regra de L’Hôpital. Vou usar essa regra porque as derivadas aqui são fáceis de calcular (aparece exponencial composta com cosseno) e isso dá uma solução rápida na prova.
Declaração (intuitiva) da Regra de L’Hôpital que vou usar:
Se e
são funções diferenciáveis em um intervalo com exceção possivelmente no ponto
, e
Se
ou ambas tendem a
, e se existir o limite
então
Aqui
é o numerador
e
é o denominador
. Vou aplicar a regra passando a derivar numerador e denominador.
Passo 3
Calcular a derivada do numerador com atenção ao composto (cadeia):
- Seja
. A regra da cadeia diz que, se com e , então Aqui e . Portanto - O numerador é
. A derivada de é . Logo a derivada do numerador é - A derivada do denominador
é
Pequena explicação didática da regra da cadeia: se uma função depende de outra função (por exemplo
), derivar significa multiplicar a derivada da função externa avaliada na interna (
vira
) pela derivada da função interna (
vira
). Exemplo simples:
.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Agora basta avaliar no ponto
:
-
. -
, então .
Portanto
Passo 5
Breve observação alternativa (útil na prova): uma outra maneira é usar a aproximação linear (expansão em primeira ordem, equivalente à definição de derivada):
se então para
perto de
,
se
Subtraindo
(pois
) e dividindo por
obtém-se que o limite é exatamente
, que já calculamos ser
. É a mesma ideia, só apresentada de outra forma.