Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{e^{\cos x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\left(\frac{e^{\cos x}-1}{x-\frac{\pi}{2}}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função no numerador é e^{\cos x}-1.
  • O denominador é x-\dfrac{\pi}{2}.
  • O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{2}.
  • Ao aproximar x de \dfrac{\pi}{2}:
    • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, então e^{\cos x}-1 \to e^{0}-1=0.
    • x-\dfrac{\pi}{2}\to 0.
  • Portanto a forma do limite é uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}.

Passo 2

Escolha do método: quando um limite apresenta indeterminação do tipo \dfrac{0}{0} e as funções envolvidas são diferenciáveis próximos do ponto, uma ferramenta direta é a Regra de L’Hôpital. Vou usar essa regra porque as derivadas aqui são fáceis de calcular (aparece exponencial composta com cosseno) e isso dá uma solução rápida na prova.
Declaração (intuitiva) da Regra de L’Hôpital que vou usar:
Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo com exceção possivelmente no ponto a, e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas tendem a \pm\infty, e se existir o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L,
então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L.
Aqui f(x) é o numerador e^{\cos x}-1 e g(x) é o denominador x-\dfrac{\pi}{2}. Vou aplicar a regra passando a derivar numerador e denominador.

Passo 3

Calcular a derivada do numerador com atenção ao composto (cadeia):
  • Seja f(x)=e^{\cos x}. A regra da cadeia diz que, se f(x)=h(u(x)) com h(u)=e^{u} e u(x)=\cos x, então f'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x).Aqui h'(u)=e^{u} e u'(x)=-\sin x. Portanto \frac{d}{dx}\big(e^{\cos x}\big)=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-\sin x\,e^{\cos x}.
  • O numerador é e^{\cos x}-1. A derivada de -1 é 0. Logo a derivada do numerador é \big(e^{\cos x}-1\big)' = -\sin x\,e^{\cos x}.
  • A derivada do denominador g(x)=x-\dfrac{\pi}{2} é g'(x)=1.
Pequena explicação didática da regra da cadeia: se uma função depende de outra função (por exemplo e^{\cos x}), derivar significa multiplicar a derivada da função externa avaliada na interna ( e^{u} vira e^{u}) pela derivada da função interna ( \cos x vira -\sin x). Exemplo simples: \dfrac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x}\cdot 2.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{e^{\cos x}-1}{x-\frac{\pi}{2}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-\sin x\,e^{\cos x}}{1}.
Agora basta avaliar no ponto x=\dfrac{\pi}{2}:
  • \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1.
  • \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0, então e^{\cos(\pi/2)}=e^{0}=1.
    Portanto
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{-\sin x\,e^{\cos x}}{1} = -\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)\,e^{\cos(\tfrac{\pi}{2})} = -1\cdot 1 = -1.

Passo 5

Breve observação alternativa (útil na prova): uma outra maneira é usar a aproximação linear (expansão em primeira ordem, equivalente à definição de derivada):
se F(x)=e^{\cos x} então para x perto de a=\dfrac{\pi}{2},
F(x)\approx F(a)+F'(a)(x-a).
Subtraindo 1=F(a) (pois F(a)=e^{0}=1) e dividindo por x-a obtém-se que o limite é exatamente F'(a), que já calculamos ser -1. É a mesma ideia, só apresentada de outra forma.

Resposta

-1

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