Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão envolve
e . - Para
temos , então está bem definido. - Ao nos aproximarmos de
a , temos e . Assim o produto tem a forma indeterminada .
A partir daqui transformamos a expressão para uma forma mais tratável.
Passo 2
Fazer a substituição simples para facilitar: seja
. Então, quando
temos
. A expressão transforma-se em
Agora trabalhamos com
.
Passo 3
Note que
é a forma
, indeterminada. Para aplicar um procedimento padrão, transformamos o produto em uma razão. Podemos escrever
Agora, quando
temos
e
, ou seja a razão está na forma
, que é um caso em que o teorema de L’Hôpital pode ser aplicado (é uma forma
em módulo).
Passo 4
Lembrete do teorema de L’Hôpital (versão usada): se
e
e
são diferenciáveis perto de
com
, então
se a última limite existir. Aqui
e
cumprem as hipóteses para
, então diferenciamos:
Aplicando L’Hôpital:
Passo 5
Calcule a razão das derivadas explicitamente:
Portanto
Isso mostra que
Voltando à variável original
, o limite pedido também é
.