Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{2} \cdot \ln x^{2}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\left(x^{2}\cdot \ln x^{2}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão envolve x^{2} e \ln x^{2}.
  • Para x\neq 0 temos x^{2}>0, então \ln x^{2} está bem definido.
  • Ao nos aproximarmos de x a 0, temos x^{2}\to 0^{+} e \ln x^{2}\to -\infty. Assim o produto tem a forma indeterminada 0\cdot(-\infty).
    A partir daqui transformamos a expressão para uma forma mais tratável.

Passo 2

Fazer a substituição simples para facilitar: seja t=x^{2}. Então, quando x\to 0 temos t\to 0^{+}. A expressão transforma-se em
\lim_{x\to 0}\left(x^{2}\ln x^{2}\right)=\lim_{t\to 0^{+}}\left(t\ln t\right).
Agora trabalhamos com \lim_{t\to 0^{+}} t\ln t.

Passo 3

Note que \lim_{t\to 0^{+}} t\ln t é a forma 0\cdot(-\infty), indeterminada. Para aplicar um procedimento padrão, transformamos o produto em uma razão. Podemos escrever
t\ln t=\frac{\ln t}{1/t}.
Agora, quando t\to 0^{+} temos \ln t\to -\infty e 1/t\to +\infty, ou seja a razão está na forma \dfrac{-\infty}{+\infty}, que é um caso em que o teorema de L’Hôpital pode ser aplicado (é uma forma \infty/\infty em módulo).

Passo 4

Lembrete do teorema de L’Hôpital (versão usada): se \lim_{t\to a} f(t)=\pm\infty e \lim_{t\to a} g(t)=\pm\infty e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(t)\neq 0, então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)}
se a última limite existir. Aqui f(t)=\ln t e g(t)=1/t cumprem as hipóteses para t\to 0^{+}, então diferenciamos:
f'(t)=\frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{t}, \qquad g'(t)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)=-\frac{1}{t^{2}}.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln t}{1/t}=\lim_{t\to 0^{+}}\frac{1/t}{-1/t^{2}}.

Passo 5

Calcule a razão das derivadas explicitamente:
\frac{1/t}{-1/t^{2}}=\frac{1}{t}\cdot\left(-\frac{t^{2}}{1}\right)=-t.
Portanto
\lim_{t\to 0^{+}}\frac{\ln t}{1/t}=\lim_{t\to 0^{+}}(-t)=0.
Isso mostra que
\lim_{t\to 0^{+}} t\ln t = 0.
Voltando à variável original x, o limite pedido também é 0.

Resposta

0

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