Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede o valor do limite
- Observação importante: ao substituir
no numerador obtém-se e no denominador obtém-se . Portanto a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Identificar uma boa estratégia: este tipo de limite tem a aparência da definição de derivada de uma função em um ponto, porque é um quociente da forma
. Então é natural reconhecer a função envolvida e usar a ideia de derivada.
- Definição usada (lembrando com calma): para uma função
diferenciável em ,
- Aqui podemos definir
e . Assim o limite pedido é exatamente . Vou então calcular e avaliar em .
Passo 3
Ensinar as regras que vou usar para calcular
.
- Derivada da exponencial composta: se
então, pela regra da cadeia,
Explicando a regra da cadeia de forma simples: deriva-se a função externa (aqui
) em relação a
e multiplica-se pela derivada de
em relação a
.
- No nosso caso
. A derivada de é (usando a regra de potência)
Passo 4
Aplicar as fórmulas ao nosso
.
- Como
e , pela regra da cadeia
Passo 5
Avaliar a derivada em
.
- Calculando
, portanto
- Conclusão: o limite pedido vale
.
Passo 6
Opcional — uma verificação alternativa (mais direta, sem nomear derivada):
- Faça a substituição
. Quando temos e . Então
Ao fazer
, o primeiro fator tende a
(limite conhecido da exponencial) e o segundo fator tende a
. O produto dá
, confirmando o resultado anterior.