Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 9}\left(\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{3}}{x-9}\right)=

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 9}\left(\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{3}}{x-9}\right).
  • Observação importante: ao substituir x=9 no numerador obtém-se e^{\sqrt{9}}-e^{3}=e^{3}-e^{3}=0 e no denominador obtém-se 9-9=0. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Identificar uma boa estratégia: este tipo de limite tem a aparência da definição de derivada de uma função em um ponto, porque é um quociente da forma \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}. Então é natural reconhecer a função envolvida e usar a ideia de derivada.
  • Definição usada (lembrando com calma): para uma função f diferenciável em a,
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
  • Aqui podemos definir f(x)=e^{\sqrt{x}} e a=9. Assim o limite pedido é exatamente f'(9). Vou então calcular f'(x) e avaliar em x=9.

Passo 3

Ensinar as regras que vou usar para calcular f'(x).
  • Derivada da exponencial composta: se f(x)=e^{u(x)} então, pela regra da cadeia,
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Explicando a regra da cadeia de forma simples: deriva-se a função externa (aqui e^{u}) em relação a u e multiplica-se pela derivada de u em relação a x.
  • No nosso caso u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}. A derivada de u é (usando a regra de potência)
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Aplicar as fórmulas ao nosso f.
  • Como f(x)=e^{\sqrt{x}} e u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}, pela regra da cadeia
f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=9.
  • Calculando \sqrt{9}=3, portanto
f'(9)=\frac{e^{\sqrt{9}}}{2\sqrt{9}}=\frac{e^{3}}{2\cdot 3}=\frac{e^{3}}{6}.
  • Conclusão: o limite pedido vale \dfrac{e^{3}}{6}.

Passo 6

Opcional — uma verificação alternativa (mais direta, sem nomear derivada):
  • Faça a substituição t=\sqrt{x}. Quando x\to 9 temos t\to 3 e x=t^{2}. Então
\frac{e^{\sqrt{x}}-e^{3}}{x-9}=\frac{e^{t}-e^{3}}{t^{2}-9}=\frac{e^{t}-e^{3}}{(t-3)(t+3)}=\frac{e^{t}-e^{3}}{t-3}\cdot\frac{1}{t+3}.
Ao fazer t\to 3, o primeiro fator tende a e^{3} (limite conhecido da exponencial) e o segundo fator tende a \tfrac{1}{6}. O produto dá \tfrac{e^{3}}{6}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{e^{3}}{6}

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