Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{e^{\tan x}-e^{\tan a}}{x-a}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to a}\left(\frac{e^{\tan x}-e^{\tan a}}{x-a}\right).
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve as funções \tan x e e^{(\cdot)}.
  • Para que \tan a seja bem definida e a derivada de \tan em a exista finita, é necessário que \cos a \neq 0. Portanto vamos assumir \cos a \neq 0 (caso contrário \tan a não está definido e o limite não faz sentido finito).
  • O que se pede é o valor do limite quando x tende a a.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): fatorar a diferença de modo a separar a parte que envolve a exponencial da parte que envolve a tangente. Escrevemos
\frac{e^{\tan x}-e^{\tan a}}{x-a} = \frac{e^{\tan x}-e^{\tan a}}{\tan x-\tan a}\cdot\frac{\tan x-\tan a}{x-a}.
Isto é válido para x próximo de a (desde que \tan x\neq\tan a para x\neq a, o que não atrapalha o cálculo do limite). Assim o limite pedido será produto dos limites dos dois fatores, desde que esses limites existam finitos.

Passo 3

Calcular o limite do primeiro fator:
\lim_{x\to a}\frac{e^{\tan x}-e^{\tan a}}{\tan x-\tan a}.
Fazer a substituição \,u=\tan x, de modo que quando x\to a temos u\to \tan a. Então esse limite é exatamente
\lim_{u\to \tan a}\frac{e^{u}-e^{\tan a}}{u-\tan a},
que é a definição do derivada da função u\mapsto e^{u} em u=\tan a. Sabendo que a função exponencial é diferenciável e sua derivada é ela mesma, temos
\lim_{u\to \tan a}\frac{e^{u}-e^{\tan a}}{u-\tan a}=e^{\tan a}.
Portanto o primeiro fator tende a e^{\tan a}.

Passo 4

Calcular o limite do segundo fator:
\lim_{x\to a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a}.
Esse limite é a definição da derivada de \tan em a, ou seja \tan'(a). Vamos obter \tan'(x) explicitamente para entender e justificar o valor.
Recordando que \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Aplicando a regra do quociente (derivada de \dfrac{f}{g} é \dfrac{f'g - fg'}{g^2}) e as derivadas \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, obtemos
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}.
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 x+\cos^2 x=1, isto simplifica para
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto a derivada de \tan em a é \operatorname{sec}^2 a, isto é
\lim_{x\to a}\frac{\tan x-\tan a}{x-a}=\operatorname{sec}^2 a=\frac{1}{\cos^2 a},
válido desde que \cos a\neq0, como assumido.

Passo 5

Como os dois limites dos fatores existem e são finitos (temos e^{\tan a} e \operatorname{sec}^2 a), pelo produto de limites segue que o limite original é o produto desses dois limites. Não houve indeterminação remanescente, logo o limite pedido existe.

Resposta

e^{\tan a}\operatorname{sec}^2 a

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