Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve as funções
e . - Para que
seja bem definida e a derivada de em exista finita, é necessário que . Portanto vamos assumir (caso contrário não está definido e o limite não faz sentido finito). - O que se pede é o valor do limite quando
tende a .
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): fatorar a diferença de modo a separar a parte que envolve a exponencial da parte que envolve a tangente. Escrevemos
Isto é válido para
próximo de
(desde que
para
, o que não atrapalha o cálculo do limite). Assim o limite pedido será produto dos limites dos dois fatores, desde que esses limites existam finitos.
Passo 3
Calcular o limite do primeiro fator:
Fazer a substituição
, de modo que quando
temos
. Então esse limite é exatamente
que é a definição do derivada da função
em
. Sabendo que a função exponencial é diferenciável e sua derivada é ela mesma, temos
Portanto o primeiro fator tende a
.
Passo 4
Calcular o limite do segundo fator:
Esse limite é a definição da derivada de
em
, ou seja
. Vamos obter
explicitamente para entender e justificar o valor.
Recordando que
. Aplicando a regra do quociente (derivada de
é
) e as derivadas
e
, obtemos
Usando a identidade trigonométrica
, isto simplifica para
Portanto a derivada de
em
é
, isto é
válido desde que
, como assumido.
Passo 5
Como os dois limites dos fatores existem e são finitos (temos
e
), pelo produto de limites segue que o limite original é o produto desses dois limites. Não houve indeterminação remanescente, logo o limite pedido existe.