Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A função no numerador é
. - O ponto de interesse é
. - Vale lembrar que
e . - Ao substituir
no numerador obtemos . O denominador também se anula em . Portanto a forma é do tipo indeterminado .
Passo 2
O que significa ter forma
e o que podemos usar?
Quando o limite tem forma com
, isso é exatamente a definição do derivada de
em
:
Quando o limite tem forma
desde que
seja diferenciável em
. No nosso caso, podemos identificar
logo o limite pedido é
, se
for diferenciável aí (e
é diferenciável para todo
). Esta é uma forma direta e elegante de resolver o problema sem alargar muito a técnica.
Passo 3
Vou explicar a regra necessária para calcular
: a regra da cadeia.
- Se
, então a derivada é
- No nosso caso
e . Sabemos que
e
Portanto, aplicando a cadeia, obtemos a derivada de
.
Passo 4
Calcular
explicitamente:
Expliquei acima cada passo: primeiro derivou-se a exponencial mantendo o interior
, depois multiplicou-se pela derivada do interior
.
Passo 5
Agora avalio a derivada em
:
Usando
e
, fica
Passo 6
Simplificando a expressão de forma mais bonita, podemos escrever
Isso é só uma reescrita equivalente, tanto faz qual forma usar na resposta final.