Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{6}}\left(\frac{e^{\sin x}-\sqrt{e}}{x-\frac{\pi}{6}}\right)=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{6}}\left(\frac{e^{\sin x}-\sqrt{e}}{x-\frac{\pi}{6}}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função no numerador é e^{\sin x}.
  • O ponto de interesse é x=\dfrac{\pi}{6}.
  • Vale lembrar que \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} e \sqrt{e}=e^{1/2}.
  • Ao substituir x=\dfrac{\pi}{6} no numerador obtemos e^{\sin(\pi/6)}- \sqrt{e}=e^{1/2}-e^{1/2}=0. O denominador também se anula em x=\dfrac{\pi}{6}. Portanto a forma é do tipo indeterminado 0/0.

Passo 2

O que significa ter forma 0/0 e o que podemos usar?
Quando o limite tem forma \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} com x\to a, isso é exatamente a definição do derivada de f em a:
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
desde que f seja diferenciável em a. No nosso caso, podemos identificar
f(x)=e^{\sin x}\qquad\text{e}\qquad a=\frac{\pi}{6},
logo o limite pedido é f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right), se f for diferenciável aí (e e^{\sin x} é diferenciável para todo x). Esta é uma forma direta e elegante de resolver o problema sem alargar muito a técnica.

Passo 3

Vou explicar a regra necessária para calcular f'(x): a regra da cadeia.
  • Se f(x)=g(h(x)), então a derivada é
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
  • No nosso caso g(u)=e^{u} e h(x)=\sin x. Sabemos que
g'(u)=e^{u}\quad\text{(a derivada da exponencial é ela mesma)}é
e
h'(x)=\cos x\quad\text{(a derivada de \(\sin x\) é \(\cos x\)).}é
Portanto, aplicando a cadeia, obtemos a derivada de f.

Passo 4

Calcular f'(x) explicitamente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sin x}\bigr)=e^{\sin x}\cdot\cos x.
Expliquei acima cada passo: primeiro derivou-se a exponencial mantendo o interior \sin x, depois multiplicou-se pela derivada do interior \cos x.

Passo 5

Agora avalio a derivada em x=\dfrac{\pi}{6}:
f'\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=e^{\sin(\pi/6)}\cdot\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right).
Usando \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, fica
f'\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=e^{1/2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Simplificando a expressão de forma mais bonita, podemos escrever
e^{1/2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\,\sqrt{e}}{2}=\frac{\sqrt{3e}}{2}.
Isso é só uma reescrita equivalente, tanto faz qual forma usar na resposta final.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3e}}{2}

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