Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{7}{x}\right)^{x}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\left(1+\frac{7}{x}\right)^{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende para -\infty.
  • A expressão é \left(1+\dfrac{7}{x}\right)^{x}.
  • Para a expressão estar bem definida como número real perto de x\to -\infty é suficiente observar que, para x<-7, tem-se 1+\dfrac{7}{x}>0; em particular, há uma vizinhança de -\infty onde a base é positiva, então a potência real faz sentido.

Passo 2

Qual estratégia usar? Uma maneira simples e direta é fazer uma substituição que transforme o limite para uma forma padrão conhecida (tipo (1+\dfrac{a}{n})^{n} com n\to\infty). Outra forma é aplicar logaritmo natural e usar regras de limite (L’Hôpital). Vou combinar as duas: primeiro transformar a variável para ficar com limite em +\infty, depois usar o limite conhecido e/ou o método do logaritmo para justificá-lo.

Passo 3

Faço a substituição \,t=-x. Então quando x\to -\infty temos t\to +\infty. Reescrevendo a expressão:
\left(1+\frac{7}{x}\right)^{x} = \left(1+\frac{7}{-t}\right)^{-t} = \left(1-\frac{7}{t}\right)^{-t}.
Portanto o limite original é igual a
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{7}{t}\right)^{-t}.

Passo 4

Reescrevo a potência para identificar um termo padrão:
\left(1-\frac{7}{t}\right)^{-t} = \left[\left(1-\frac{7}{t}\right)^{t}\right]^{-1}.
Logo basta calcular \lim_{t\to+\infty}\left(1-\dfrac{7}{t}\right)^{t} e depois inverter o resultado.

Passo 5

Calculo L=\lim_{t\to+\infty}\left(1-\dfrac{7}{t}\right)^{t} usando logaritmo natural (método robusto). Seja
\ln L=\lim_{t\to+\infty} t\ln\!\left(1-\frac{7}{t}\right).
Escrevo isso como uma razão para aplicar L’Hôpital:
t\ln\!\left(1-\frac{7}{t}\right) = \frac{\ln\!\left(1-\dfrac{7}{t}\right)}{\dfrac{1}{t}}.
Ao fazer t\to+\infty temos numerador \to 0 e denominador \to 0, forma 0/0. Aplico L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a t.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dt}\ln\!\left(1-\frac{7}{t}\right) = \frac{1}{1-\dfrac{7}{t}}\cdot\frac{d}{dt}\!\left(1-\frac{7}{t}\right) = \frac{1}{1-\dfrac{7}{t}}\cdot\frac{7}{t^{2}}.
Derivada do denominador \dfrac{1}{t} é -\dfrac{1}{t^{2}}. Portanto, pela regra de L’Hôpital,
\ln L = \lim_{t\to+\infty}\frac{\dfrac{7}{t^{2}\left(1-\dfrac{7}{t}\right)}}{-\dfrac{1}{t^{2}}} = \lim_{t\to+\infty}\left(-\frac{7}{1-\dfrac{7}{t}}\right).
Como \dfrac{7}{t}\to 0 quando t\to+\infty, o limite é
\ln L = -\frac{7}{1-0} = -7.
Portanto L=e^{-7}.

Passo 6

Voltando à expressão original reescrita em função de t, temos
\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{7}{t}\right)^{-t} = \left(\lim_{t\to+\infty}\left(1-\frac{7}{t}\right)^{t}\right)^{-1} = \left(e^{-7}\right)^{-1} = e^{7}.

Passo 7

Interpretação final e observação prática: a situação é análoga à conhecida propriedade
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a}{n}\right)^{n}=e^{a},
aqui, com x\to -\infty, a substituição t=-x transforma a expressão de modo que o resultado final é e^{7}.

Resposta

e^{7}

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