Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right)=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{\sin x}\right).
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas \cos x e \sin x e a passagem x\to 0. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Vamos usar identidades trigonométricas básicas que simplificam a expressão. Duas identidades úteis são:
1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right),
obtida a partir da identidade \cos(2u)=1-2\sin^2 u tomando u=\dfrac{x}{2}, e
\sin x = 2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right),
que vem da fórmula do ângulo duplo para o seno \sin(2u)=2\sin u\cos u com u=\dfrac{x}{2}.
Essas transformações são muito úteis para lidar com expressões com 1-\cos x.

Passo 3

Substituindo as duas identidades na expressão original e simplificando:
\frac{1-\cos x}{\sin x} = \frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)} = \tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Portanto a expressão se reduz a \tan\!\left(\dfrac{x}{2}\right).

Passo 4

Agora avaliaremos o limite convertido:
\lim_{x\rightarrow 0}\tan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Como \tan é contínua onde definida e \dfrac{x}{2}\rightarrow 0 quando x\rightarrow 0, basta calcular \tan(0). Usando \sin 0=0 e \cos 0=1, tem-se \tan 0=0. Logo o limite é 0.
Uma forma alternativa (para checar) é usar as séries iniciais: \cos x = 1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2) e \sin x = x+o(x), daí \dfrac{1-\cos x}{\sin x}\sim\dfrac{x^2/2}{x}=\dfrac{x}{2}\to 0. Isso confirma o resultado.

Passo 5

Dica para a prova: quando vir (1-\cos x) perto de x=0, sempre pense na identidade 1-\cos x=2\sin^2(x/2) — quase sempre simplifica com um \sin x no denominador e reduz o limite a algo do tipo \tan(x/2) ou \sin(x/2)/(x/2), que são fáceis de avaliar sem calculadora.

Resposta

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