Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve as funções trigonométricas
e
e a passagem
. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Vamos usar identidades trigonométricas básicas que simplificam a expressão. Duas identidades úteis são:
obtida a partir da identidade
tomando
, e
que vem da fórmula do ângulo duplo para o seno
com
.
Essas transformações são muito úteis para lidar com expressões com .
Essas transformações são muito úteis para lidar com expressões com
Passo 3
Substituindo as duas identidades na expressão original e simplificando:
Portanto a expressão se reduz a
.
Passo 4
Agora avaliaremos o limite convertido:
Como
é contínua onde definida e
quando
, basta calcular
. Usando
e
, tem-se
. Logo o limite é
.
Uma forma alternativa (para checar) é usar as séries iniciais:
e
, daí
. Isso confirma o resultado.
Passo 5
Dica para a prova: quando vir
perto de
, sempre pense na identidade
— quase sempre simplifica com um
no denominador e reduz o limite a algo do tipo
ou
, que são fáceis de avaliar sem calculadora.