Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\cos ^{4} x-1}{x^{2}}\right)=

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\cos^{4}x-1}{x^{2}}\right).
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{\cos^{4}x-1}{x^{2}}.
  • Quando x=0 temos \cos^{4}0-1=1-1=0 e o denominador também é 0, então trata-se de uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Vamos transformar a diferença de potências no numerador para uma forma mais útil. Use a identidade de fatoração a^{4}-1=(a^{2}-1)(a^{2}+1) com a=\cos x. Assim:
\cos^{4}x-1=(\cos^{2}x-1)(\cos^{2}x+1).
Agora use a identidade trigonométrica \cos^{2}x=1-\sin^{2}x, daí \cos^{2}x-1=-\sin^{2}x. Substituindo:
\cos^{4}x-1 = -\sin^{2}x\;(\cos^{2}x+1).

Passo 3

Substitua essa expressão no limite original:
\frac{\cos^{4}x-1}{x^{2}} = -\,\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\;(\cos^{2}x+1).
Reescreva \dfrac{\sin^{2}x}{x^{2}} como \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^{2}. Assim:
\frac{\cos^{4}x-1}{x^{2}} = -\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}(\cos^{2}x+1).

Passo 4

Agora vamos usar limites conhecidos (aqui explico por que eles valem):
  • É um limite fundamental que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Uma justificativa curta: pela desigualdade geométrica (ou pela expansão em série) tem-se \cos x\le \dfrac{\sin x}{x}\le 1 para x pequeno e positivo, e como \lim_{x\to0}\cos x=1, pela regra do sanduíche obtemos \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1. Portanto
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=1^{2}=1.
  • Também é claro que \lim_{x\to0}\cos x=1, logo
\lim_{x\to0}\cos^{2}x=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0}(\cos^{2}x+1)=1+1=2.

Passo 5

Aplicando as conclusões do passo anterior ao produto de fatores do passo 3, obtemos:
\lim_{x\to0}\frac{\cos^{4}x-1}{x^{2}} = -\left(\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right)\left(\lim_{x\to0}(\cos^{2}x+1)\right) = -1\cdot 2 = -2.

Passo 6

Como reforço didático, uma alternativa rápida (que dá a mesma resposta) é usar a expansão em série para \cos x em torno de zero:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}),
então
\cos^{4}x = \bigg(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\bigg)^{4} = 1 - 2x^{2} + o(x^{2}),
e portanto \cos^{4}x-1 = -2x^{2} + o(x^{2}). Dividindo por x^{2} e fazendo x\to0 dá novamente -2. Isso confirma o resultado anterior e dá uma visão alternativa usando séries.

Resposta

-2

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