Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - Quando
temos e o denominador também é , então trata-se de uma indeterminação do tipo .
Passo 2
Vamos transformar a diferença de potências no numerador para uma forma mais útil. Use a identidade de fatoração
com
. Assim:
Agora use a identidade trigonométrica
, daí
. Substituindo:
Passo 3
Substitua essa expressão no limite original:
Reescreva
como
. Assim:
Passo 4
Agora vamos usar limites conhecidos (aqui explico por que eles valem):
- É um limite fundamental que
Uma justificativa curta: pela desigualdade geométrica (ou pela expansão em série) tem-se
para
pequeno e positivo, e como
, pela regra do sanduíche obtemos
. Portanto
- Também é claro que
, logo
Passo 5
Aplicando as conclusões do passo anterior ao produto de fatores do passo 3, obtemos:
Passo 6
Como reforço didático, uma alternativa rápida (que dá a mesma resposta) é usar a expansão em série para
em torno de zero:
então
e portanto
. Dividindo por
e fazendo
dá novamente
. Isso confirma o resultado anterior e dá uma visão alternativa usando séries.