Calcule os limites trigonométricos a seguir:
lim _{x \rightarrow 2^{+}}[(x-2) \cdot \ln (x-2)]=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2^{+}} \bigl[(x-2)\cdot \ln(x-2)\bigr].
Informações dadas:
  • A função considerada é (x-2)\cdot \ln(x-2).
  • A variável x aproxima-se de 2 pela direita, isto é x\to 2^{+}.
    O que se pede: encontrar o valor numérico do limite quando x tende a 2 pela direita.

Passo 2

Fazer a substituição conveniente para simplificar a expressão. Defina
t = x-2.
Quando x\to 2^{+} temos t\to 0^{+}. Assim o limite original transforma-se em
\lim_{t\to 0^{+}} t\ln t.

Passo 3

Identificar o tipo de indeterminação e escolher uma técnica. Ao observar
\lim_{t\to 0^{+}} t\ln t,
temos t\to 0^{+} e \ln t \to -\infty, então a expressão está na forma de indeterminação 0\cdot(-\infty). Para aplicar o teorema de L’Hôpital é mais conveniente transformar o produto em uma razão. Reescrevemos:
t\ln t = \frac{\ln t}{1/t}.
Agora, ao fazer t\to 0^{+} temos \ln t \to -\infty e 1/t \to +\infty, ou seja a razão está na forma -\infty / +\infty, admissível para aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Aplicar a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a t. Derivadas:
  • \dfrac{d}{dt}(\ln t) = \dfrac{1}{t}.
  • \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{t}\right) = -\dfrac{1}{t^{2}}.
    Pelo teorema de L’Hôpital,
\lim_{t\to 0^{+}} \frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t\to 0^{+}} \frac{\dfrac{1}{t}}{-\dfrac{1}{t^{2}}} = \lim_{t\to 0^{+}} \bigl(-t\bigr).

Passo 5

Calcular o limite da expressão obtida. Temos
\lim_{t\to 0^{+}} (-t) = 0.
Portanto
\lim_{t\to 0^{+}} t\ln t = 0,
e, voltando à variável original, o limite pedido é 0.

Resposta

0

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