Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A variável
aproxima-se de pela direita, isto é .
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite quandotende a pela direita.
Passo 2
Fazer a substituição conveniente para simplificar a expressão. Defina
Quando
temos
. Assim o limite original transforma-se em
Passo 3
Identificar o tipo de indeterminação e escolher uma técnica. Ao observar
temos
e
, então a expressão está na forma de indeterminação
. Para aplicar o teorema de L’Hôpital é mais conveniente transformar o produto em uma razão. Reescrevemos:
Agora, ao fazer
temos
e
, ou seja a razão está na forma
, admissível para aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Aplicar a regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a
. Derivadas:
-
. -
.
Pelo teorema de L’Hôpital,
Passo 5
Calcular o limite da expressão obtida. Temos
Portanto
e, voltando à variável original, o limite pedido é
.