Calcule os limites trigonométricos a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da expressão
Informações dadas:
- A variável
tende a . - A expressão envolve funções trigonométricas
e próximas de zero.
O que se quer: calcular numericamente o valor do limite.
Passo 2
Lembrete importante (fórmulas que vamos usar) — mini-aula rápida e intuitiva:
- Para a função seno vale a identidade fundamental do limite quando o argumento vai a zero:
Ideia da demonstração: para
pequeno e positivo existe a desigualdade
, que vem de relações geométricas na circunferência trigonométrica; aplicando o teorema do sanduíche (squeeze), como
, conclui-se o limite acima.
- Para a tangente usamos que
. Assim
e como
e
, obtemos
Esses dois limites são as ferramentas padrão para tratar limites trigonométricos com argumentos que tendem a zero.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão de forma a usar os limites padrões acima. Primeiro note que
. Escrevemos
Aqui eu apenas multipliquei e dividi por
para isolar fatores do tipo
, que lembramos tender para
.
Passo 4
Simplificamos o segundo fator:
Podemos transformar
usando um fator conveniente
:
Portanto a expressão original ficou
Passo 5
Agora passamos ao limite. Pelo teorema do produto de limites (quando cada limite existe finito),
Usando as identidades da Passo 2 temos
e
, logo
. Portanto o produto acima vale
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova: sempre que ver funções trigonométricas pequenas, procure fatorar para obter expressões do tipo
ou
, pois ambos tendem a
. Aqui isso reduz o problema a números simples.