Calcule os limites trigonométricos a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\tan ^{2} 2 x}{x \sin 5 x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x\to 0 da expressão
\frac{\tan^{2}2x}{x\sin5x}.
Informações dadas:
  • A variável x tende a 0.
  • A expressão envolve funções trigonométricas \tan e \sin próximas de zero.
    O que se quer: calcular numericamen­te o valor do limite.

Passo 2

Lembrete importante (fórmulas que vamos usar) — mini-aula rápida e intuitiva:
  • Para a função seno vale a identidade fundamental do limite quando o argumento vai a zero:
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Ideia da demonstração: para u pequeno e positivo existe a desigualdade \cos u < \dfrac{\sin u}{u} < 1, que vem de relações geométricas na circunferência trigonométrica; aplicando o teorema do sanduíche (squeeze), como \lim_{u\to0}\cos u=1, conclui-se o limite acima.
  • Para a tangente usamos que \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u}. Assim
\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u},
e como \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\cos u=1, obtemos
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.
Esses dois limites são as ferramentas padrão para tratar limites trigonométricos com argumentos que tendem a zero.

Passo 3

Vamos reescrever a expressão de forma a usar os limites padrões acima. Primeiro note que \tan^{2}2x=(\tan 2x)^{2}. Escrevemos
\frac{\tan^{2}2x}{x\sin5x} = \left(\frac{\tan 2x}{2x}\right)^{2}\cdot\frac{(2x)^{2}}{x\sin5x}.
Aqui eu apenas multipliquei e dividi por (2x)^{2} para isolar fatores do tipo \dfrac{\tan 2x}{2x}, que lembramos tender para 1.

Passo 4

Simplificamos o segundo fator:
\frac{(2x)^{2}}{x\sin5x}=\frac{4x^{2}}{x\sin5x}=\frac{4x}{\sin5x}.
Podemos transformar \dfrac{4x}{\sin5x} usando um fator conveniente 5:
\frac{4x}{\sin5x}=\frac{4}{5}\cdot\frac{5x}{\sin5x}.
Portanto a expressão original ficou
\frac{\tan^{2}2x}{x\sin5x} = \left(\frac{\tan 2x}{2x}\right)^{2}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5x}{\sin5x}.

Passo 5

Agora passamos ao limite. Pelo teorema do produto de limites (quando cada limite existe finito),
\lim_{x\to0}\frac{\tan^{2}2x}{x\sin5x} = \left(\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{2x}\right)^{2}\cdot\frac{4}{5}\cdot\lim_{x\to0}\frac{5x}{\sin5x}.
Usando as identidades da Passo 2 temos \lim_{x\to0}\dfrac{\tan 2x}{2x}=1 e \lim_{x\to0}\dfrac{\sin5x}{5x}=1, logo \lim_{x\to0}\dfrac{5x}{\sin5x}=1. Portanto o produto acima vale
(1)^{2}\cdot\frac{4}{5}\cdot(1).

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova: sempre que ver funções trigonométricas pequenas, procure fatorar para obter expressões do tipo \dfrac{\sin(kx)}{kx} ou \dfrac{\tan(kx)}{kx}, pois ambos tendem a 1. Aqui isso reduz o problema a números simples.

Resposta

\dfrac{4}{5}

Exercícios relacionados