Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam a, b, c in R. Mostre que:
Para c<0: a<b Leftrightarrow b cdot c<a cdot c>

Passo 1

O enunciado diz que temos a,b,cinR com c<0 e pede para mostrar que
a<bLong<=ftrightarrow b,c < a,c
A teoria que vamos usar é que multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.

Passo 2

Prova da implicação direta l(a<bimplies b,c<a,cr): suponha a<b e c<0. Então -c>0. Multiplicando a desigualdade a<b por -c (positivo) o sentido fica
acdot(-c)<bcdot(-c)
Como acdot(-c)=-a,c e bcdot(-c)=-b,c, obtemos
-,a,c < -,b,c
Agora multiplicamos os dois lados por -1 (número negativo, logo invertendo o sentido):
a,c > b,c,
ou seja
b,c < a,c

Passo 3

Prova da implicação recíproca l(b,c<a,cimplies a<br): suponha b,c<a,c e c<0. Dividindo ambos os lados por c (negativo), o sentido se inverte:
b > a,
portanto a<b.

Passo 4

Como mostramos tanto a<bimplies b,c<a,c quanto b,c<a,cimplies a<b, concluímos a equivalência desejada.

Resposta

Para c<0: a<biff b,c < a,c

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