Questão 0.1. (vale 6,0) Sejam
. Mostre que:
Para
Para
Passo 1
O enunciado diz que temos
com
e pede para mostrar que
A teoria que vamos usar é que multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo inverte o sentido da desigualdade.
Passo 2
Prova da implicação direta
: suponha
e
. Então
. Multiplicando a desigualdade
por
(positivo) o sentido fica
Como
e
, obtemos
Agora multiplicamos os dois lados por
(número negativo, logo invertendo o sentido):
ou seja
Passo 3
Prova da implicação recíproca
: suponha
e
. Dividindo ambos os lados por
(negativo), o sentido se inverte:
portanto
.
Passo 4
Como mostramos tanto
quanto
, concluímos a equivalência desejada.