Determine onde
existe, onde
é analítica e ache o valor de
quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a derivada
existe para a função
. Isso envolve conceitos de funções analíticas na matéria de Análise Complexa. Vamos precisar entender como funciona a diferenciabilidade de funções de variável complexa e aplicar as condições de Cauchy-Riemann para achar onde a derivada existe e, então, calcular o valor dessa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes reais e imaginárias de
. Seja
, onde
é a parte real e
a parte imaginária de
. A função fica assim:
Então, podemos identificar as partes real e imaginária de
:
Passo 3
Agora, para que a função
seja analítica em um ponto, ela precisa ser diferenciável nesse ponto, o que, em termos das funções
e
, significa que as Equações de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas. As condições são:
Vamos calcular essas derivadas parciais:
Passo 4
Agora, aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
- Primeiro, igualamos
a :
- Depois, igualamos
a :
Então, as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando
e
, ou seja, no ponto
.
Passo 5
Como a derivada
só existe onde as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, concluímos que
existe apenas no ponto
.
Agora, vamos calcular
nesse ponto. Para funções diferenciáveis, a derivada é dada por:
No ponto
(
e
):
Então:
Resposta
A derivada
existe somente no ponto
e, nesse ponto, o valor de
é igual a zero.