Determine onde f'(z) existe, onde f é analítica e ache o valor de f'(z) quando: f(z) = z * Im(z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a derivada existe para a função . Isso envolve conceitos de funções analíticas na matéria de Análise Complexa. Vamos precisar entender como funciona a diferenciabilidade de funções de variável complexa e aplicar as condições de Cauchy-Riemann para achar onde a derivada existe e, então, calcular o valor dessa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos das partes reais e imaginárias de . Seja , onde é a parte real e a parte imaginária de . A função fica assim:
Então, podemos identificar as partes real e imaginária de :

Passo 3

Agora, para que a função seja analítica em um ponto, ela precisa ser diferenciável nesse ponto, o que, em termos das funções e , significa que as Equações de Cauchy-Riemann devem ser satisfeitas. As condições são:
Vamos calcular essas derivadas parciais:

Passo 4

Agora, aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. Primeiro, igualamos a :
  1. Depois, igualamos a :
Então, as Equações de Cauchy-Riemann só são satisfeitas quando e , ou seja, no ponto .

Passo 5

Como a derivada só existe onde as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas, concluímos que existe apenas no ponto .
Agora, vamos calcular nesse ponto. Para funções diferenciáveis, a derivada é dada por:
No ponto ( e ):
Então:

Resposta

A derivada existe somente no ponto e, nesse ponto, o valor de é igual a zero.

Exercícios relacionados