Verifique que o limite não existe calculando os limites através de duas curvas que passam pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3} y}{x^{6}-2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}y}{x^{6}-2y^{2}}
não existe. Vamos aplicar o conceito de limite em várias curvas (caminhos) que passam por (0,0) e mostrar que obtemos resultados diferentes.

Passo 2

Escolhemos primeiro a curva y=0. Substituindo em f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^{6}-2y^{2}}, temos
f(x,0)=\frac{x^{3}\cdot0}{x^{6}-2\cdot0^{2}}=0.
Como para todo x\neq0 essa expressão vale 0, concluímos
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=0} \frac{x^{3}y}{x^{6}-2y^{2}} = 0.

Passo 3

Agora escolhemos a curva y=x^{3}. Substituindo em f(x,y), obtemos
f\bigl(x,x^{3}\bigr) =\frac{x^{3}\cdot x^{3}}{x^{6}-2\,(x^{3})^{2}} =\frac{x^{6}}{x^{6}-2x^{6}} =\frac{x^{6}}{-x^{6}} =-1.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0),\,y=x^{3}} \frac{x^{3}y}{x^{6}-2y^{2}} = -1.

Passo 4

Vimos que ao aproximar por y=0 o limite é 0 e por y=x^{3} o limite é -1. Como esses valores são diferentes, o limite original não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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