Calcule os limites usando a regra de LHôspital sempre que possível:
lim x 0^+ sen x ln x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+sin x ,ln x
O conteúdo envolvido é o tratamento de indeterminações do tipo 0cdot(-infty) e, para resolvê-las, vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Observamos que, à medida que xto0^+, temos sin xto0 e ln xto-infty, ou seja uma forma 0cdot(-infty), que não é diretamente aplicável à regra de L’Hôpital.

Passo 3

Para usar L’Hôpital, transformamos o produto em quociente. Note que
sin x,ln x ;=;ln x1/sin x
Quando xto0^+ temos ln xto-infty e 1/sin xto+infty, produzindo uma forma tfrac-infty+infty, que permite o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador:
O numerador ln x tem derivada
ddx[ln x]=1x
O denominador 1/sin x=(sin x)^-1 tem derivada
ddxl[(sin x)^-1r] =-cos xsin^2 x

Passo 5

Substituindo na expressão do limite, fica
limxto0^+ln x1/sin x = limxto0^+tfrac1x-tfraccos xsin^2 x = limxto0^+l(-sin^2 xxcos xr)
Como para xto0 vale sin xsim x e cos xto1, temos dentro do limite
-sin^2 xxcos xsim -x^2xcdot1=-x,
e claramente limxto0^+(-x)=0.

Resposta

0

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