Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
e^3x

Passo 1

Estamos examinando a função f(x)=e^3x. O que a questão pede é: primeiro descobrir o domínio dessa função e depois identificar suas assíntotas verticais e horizontais. Para isso vamos usar as ideias de domínio (onde a expressão faz sentido) e limites (para ver comportamentos quando x vai a pontos críticos ou ao infinito).

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver onde e^3x está bem definida. A exponencial e^u é definida para todo u real, mas aqui u=tfrac3x exige que xneq 0. Logo,
Domínio = xinR:xneq0 = (-infty,0)cup(0,infty)í

Passo 3

Assíntota vertical ocorre quando a função tende a pminfty ao nos aproximarmos de algum ponto do domínio. Aqui o único ponto crítico é x=0. Vamos ver os limites laterais:
Ao aproximar de zero pela direita, xto0^+, temos tfrac3xto+infty e portanto
limxto0^+e^3x = e^+infty=+infty

Passo 4

Ao aproximar de zero pela esquerda, xto0^-, temos tfrac3xto-infty e então
limxto0^-e^3x = e^-infty=0

Passo 5

Como pelo menos um dos limites laterais dá pminfty, existe assíntota vertical em x=0.

Passo 6

Assíntota horizontal se identifica pelos limites quando x vai a +infty ou -infty. Note que tfrac3xto0 em ambos os casos. Logo
$$\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{3}{x}} = e^0 = 1,\
\lim_{x\to-\infty}e^{\frac{3}{x}} = e^0 = 1.$$

Passo 7

Portanto, há assíntota horizontal y=1 em ambas as direções do infinito.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty). Assíntota vertical: x=0. Assíntota horizontal: y=1.

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