Dê o domínio das funções abaixo e calcule as assíntotas verticais e horizontais, caso existam:
Passo 1
Estamos examinando a função
. O que a questão pede é: primeiro descobrir o domínio dessa função e depois identificar suas assíntotas verticais e horizontais. Para isso vamos usar as ideias de domínio (onde a expressão faz sentido) e limites (para ver comportamentos quando
vai a pontos críticos ou ao infinito).
Passo 2
Para achar o domínio, basta ver onde
está bem definida. A exponencial
é definida para todo
real, mas aqui
exige que
. Logo,
Passo 3
Assíntota vertical ocorre quando a função tende a
ao nos aproximarmos de algum ponto do domínio. Aqui o único ponto crítico é
. Vamos ver os limites laterais:
Ao aproximar de zero pela direita, , temos
e portanto
Ao aproximar de zero pela direita,
Passo 4
Ao aproximar de zero pela esquerda,
, temos
e então
Passo 5
Como pelo menos um dos limites laterais dá
, existe assíntota vertical em
.
Passo 6
Assíntota horizontal se identifica pelos limites quando
vai a
ou
. Note que
em ambos os casos. Logo
$$\lim_{x\to+\infty}e^{\frac{3}{x}} = e^0 = 1,\
\lim_{x\to-\infty}e^{\frac{3}{x}} = e^0 = 1.$$
Passo 7
Portanto, há assíntota horizontal
em ambas as direções do infinito.
Resposta
Domínio:
. Assíntota vertical:
. Assíntota horizontal:
.