Calcule os limites (use as propriedades e teoremas vistos em aula).
\lim _{n} \frac{3 n^{3}+1}{2 n^{2}+n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
\displaystyle\frac{3n^{3}+1}{2n^{2}+n}
quando n\to\infty. O conteúdo envolvido é limites de sequências de polinômios. Vamos usar propriedades de limites (soma, quociente e fator comum) e o fato de que, para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento para n grande.

Passo 2

Note que o grau do polinômio do numerador é 3 e o do denominador é 2. Como o grau do numerador é maior, espera-se que a fração cresça sem limite, tendendo a +\infty.

Passo 3

Para ver isso de forma rigorosa, divida numerador e denominador por n^{2}, o maior grau do denominador:
\frac{3n^{3}+1}{2n^{2}+n} = \frac{\frac{3n^{3}}{n^{2}}+\frac{1}{n^{2}}}{\frac{2n^{2}}{n^{2}}+\frac{n}{n^{2}}} = \frac{3n+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}}.

Passo 4

Agora use as propriedades de limite:
\lim_{n\to\infty}\Bigl(3n+\tfrac{1}{n^{2}}\Bigr)=+\infty
\lim_{n\to\infty}\Bigl(2+\tfrac{1}{n}\Bigr)=2\neq0
Como o limite do numerador é +\infty e o do denominador é um número finito e não nulo, pelo teorema do quociente:
\lim_{n\to\infty}\frac{3n+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{1}{n}}=+\infty.

Resposta

O limite diverge para +\infty.

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