Calcule os limites (use as propriedades e teoremas vistos em aula).
\lim _{n} \sqrt[n]{5 n}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5n}.
O conteúdo envolve limite de sequência, propriedades de radiciação e o teorema do produto de limites.

Passo 2

Escrevemos a sequência como produto de fatores mais simples:
a_n = \sqrt[n]{5n} = (5n)^{\tfrac1n} = 5^{\tfrac1n}\,n^{\tfrac1n}.
Assim, podemos aplicar o teorema que diz que
\lim_{n\to\infty}(x_ny_n) = \lim_{n\to\infty}x_n\;\cdot\;\lim_{n\to\infty}y_n,
desde que ambos os limites existam.

Passo 3

Calculamos cada fator separadamente:
\lim_{n\to\infty}5^{\tfrac1n} =5^0 =1,
pois para qualquer constante a>0 vale \lim_{n\to\infty}a^{1/n}=1.
\lim_{n\to\infty}n^{\tfrac1n} =1,
sabendo que a sequência \bigl(n^{1/n}\bigr) tende a 1.

Passo 4

Pelo teorema do produto de limites, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{5n} =\lim_{n\to\infty}5^{\tfrac1n}\;\cdot\;\lim_{n\to\infty}n^{\tfrac1n} =1\cdot1 =1.

Resposta

1

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