Calcule os limites (use as propriedades e teoremas vistos em aula).
\lim _{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}
quando n\to\infty. O conteúdo aqui é cálculo de limite de sequência por manipulação algébrica (racionalização).

Passo 2

Para eliminar a indeterminação do tipo \tfrac{1}{0}, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{n^{2}+1}+n:
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{(\sqrt{n^{2}+1}-n)(\sqrt{n^{2}+1}+n)} = \frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{(n^{2}+1)-n^{2}} = \sqrt{n^{2}+1}+n.

Passo 3

Agora analisamos
\sqrt{n^{2}+1}+n = n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}+n.
Como \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{n^{2}}}=1, segue
\sqrt{n^{2}+1}+n \sim n\cdot1 + n = 2n,
que cresce sem limite quando n\to\infty. Logo a_{n}\to+\infty.

Resposta

O limite é +\infty.

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