Calcule os limites (use as propriedades e teoremas vistos em aula).
\lim _{n} \frac{(\log n)^{2}}{n}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(\log n)^2}{n}.
Estamos trabalhando com limites de sequência em que o numerador tende a infinito, mas cresce muito mais devagar que o denominador. Para formalizar isso, estendemos a sequência a uma função contínua e usamos o Teorema de L’Hôpital para tratar a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Considere a função
f(x)=\frac{(\ln x)^2}{x},\quad x>1.
Ao levar x\to\infty obtemos a forma \infty/\infty. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl((\ln x)^2\bigr)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}(x)=1.
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\lim_{x\to\infty}f(x) =\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}.

Passo 3

O limite
\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x}
é outra indeterminação \infty/\infty, então aplicamos L’Hôpital novamente:
\frac{d}{dx}(2\ln x)=\frac{2}{x}, \quad \frac{d}{dx}(x)=1,
portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{2\ln x}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{2/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x} =0.
Assim concluímos que
\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0,
e por extensão
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(\log n)^2}{n}=0.

Resposta

0

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