Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Este é um ODE linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método clássico de superposição: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada, depois somamos a uma solução particular para o termo não homogêneo
.
Passo 2
Resolvemos a equação característica da parte homogênea
As raízes são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular para o termo polinomial
. Assumimos
Então
Substituindo em
dá
Igualando coeficientes em
e termo constante:
Portanto
Passo 4
Para o termo exponencial
, usamos
Calculamos
e substituímos em
:
Logo
Passo 5
Pela superposição, a solução particular total é
e a solução geral da equação original é