Resolva as integrais duplas:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left(4-x+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\bigl(4 - x + y^{2}\bigr)\,dy\,dx
em que a região de integração é o retângulo [0,1]\times[0,1] e a função é contínua. Pelo Teorema de Fubini, podemos fazer a integração iterada, primeiro em y (tratando x como parâmetro) e depois em x.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
\int_{0}^{1}(4 - x + y^{2})\,dy = \int_{0}^{1}(4 - x)\,dy \;+\;\int_{0}^{1}y^{2}\,dy = (4 - x)\cdot 1 \;+\;\frac{1^{3}}{3} = \frac{13}{3} - x.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{0}^{1}\Bigl(\frac{13}{3} - x\Bigr)\,dx = \left[\frac{13}{3}\,x - \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{13}{3} - \frac{1}{2} = \frac{26}{6} - \frac{3}{6} = \frac{23}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{23}{6}

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