Seja
.
(a) Encontre o domínio da funçāo.
(b) Calcule o limite da função quando
. Há assíntota horizontal ou oblíqua? Justifique sua resposta.
(c) Calcule o limite onde a função não está definida (ver o domínio da funçāo!). Há assintota vertical? Justifique sua resposta.
(d) Calcule a função nos pontos onde cruza os eixos.
(a) Encontre o domínio da funçāo.
(b) Calcule o limite da função quando
(c) Calcule o limite onde a função não está definida (ver o domínio da funçāo!). Há assintota vertical? Justifique sua resposta.
(d) Calcule a função nos pontos onde cruza os eixos.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede:
(a) domínio;
(b) limites em e assíntotas horizontais ou oblíquas;
(c) limite onde a função não está definida e assíntota vertical;
(d) pontos de interseção com os eixos.
(a) domínio;
(b) limites em
(c) limite onde a função não está definida e assíntota vertical;
(d) pontos de interseção com os eixos.
Passo 2
Para achar o domínio, precisamos que o denominador seja diferente de zero. Então resolvemos
o que dá
Logo, o domínio é
Passo 3
Fatoramos o numerador:
Assim,
Como
no domínio, cancelamos e obtemos
Passo 4
Usando
para
, temos
Não há assíntota horizontal (os limites não são finitos). Como o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, existe assíntota oblíqua dada pelo quociente da divisão (que vimos ser
). Portanto, a oblíqua é
Passo 5
No ponto
a função não está definida, mas usando a forma simplificada é contínua lá. Calculamos
Como o limite é finito e igual dos dois lados, não há assíntota vertical: tratou-se de uma descontinuidade removível (um “furo” em
).
Passo 6
Para os interceptos:
- Interseção com o eixo
: resolvemos . Como ,
O ponto é
. Note que
também anularia o numerador, mas não pertence ao domínio.
- Interseção com o eixo
: basta .
logo o ponto é
.
Resposta
(a)
(b) Não há assíntota horizontal; há assíntota oblíqua
.
(c) Não há assíntota vertical (descontinuidade removível em
).
(d) Corte em :
. Corte em
:
.
(b)
(c)
(d) Corte em