Seja f(x)=9-4 x^23+2 x.
(a) Encontre o domínio da funçāo.
(b) Calcule o limite da função quando x pm infty. Há assíntota horizontal ou oblíqua? Justifique sua resposta.
(c) Calcule o limite onde a função não está definida (ver o domínio da funçāo!). Há assintota vertical? Justifique sua resposta.
(d) Calcule a função nos pontos onde cruza os eixos.

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=9-4x^23+2x
e pede:
(a) domínio;
(b) limites em xtopminfty e assíntotas horizontais ou oblíquas;
(c) limite onde a função não está definida e assíntota vertical;
(d) pontos de interseção com os eixos.

Passo 2

Para achar o domínio, precisamos que o denominador seja diferente de zero. Então resolvemos
3+2xneq0
o que dá
xneq -tfrac32
Logo, o domínio é
Rsetminusl-tfrac32r

Passo 3

Fatoramos o numerador:
9-4x^2=(3-2x)(3+2x)
Assim,
f(x)=(3-2x)(3+2x)3+2x
Como 3+2xneq0 no domínio, cancelamos e obtemos
f(x)=3-2x, xneq -tfrac32

Passo 4

Usando f(x)=3-2x para xtopminfty, temos
limxto+inftyf(x)=limxto+infty(3-2x)=-infty,
limxto-inftyf(x)=limxto-infty(3-2x)=+infty
Não há assíntota horizontal (os limites não são finitos). Como o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, existe assíntota oblíqua dada pelo quociente da divisão (que vimos ser 3-2x). Portanto, a oblíqua é
y=3-2x

Passo 5

No ponto x=-tfrac32 a função não está definida, mas usando a forma simplificada é contínua lá. Calculamos
limxto -tfrac32f(x)=limxto -tfrac32(3-2x)=3-2l(-tfrac32r)=6
Como o limite é finito e igual dos dois lados, não há assíntota vertical: tratou-se de uma descontinuidade removível (um “furo” em l(-tfrac32,6r)).

Passo 6

Para os interceptos:
  1. Interseção com o eixo x: resolvemos f(x)=0. Como f(x)=3-2x,
3-2x=0implies x=tfrac32
O ponto é l(tfrac32,0r). Note que x=-tfrac32 também anularia o numerador, mas não pertence ao domínio.
  1. Interseção com o eixo y: basta x=0.
f(0)=9-03+0=3,
logo o ponto é (0,3).

Resposta

(a) Domínio=Rsetminus-tfrac32í
(b) limxto+inftyf(x)=-infty, limxto-inftyf(x)=+infty Não há assíntota horizontal; há assíntota oblíqua y=3-2x.
(c) limxto-tfrac32f(x)=6 Não há assíntota vertical (descontinuidade removível em (-1,5,6)).
(d) Corte em x: l(tfrac32,0r). Corte em y: (0,3).

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