(a) Calcule as linearizações das funções e , em .
(b) Usando essas linearizações, aproxime ambas as funções em e veja qual a mais pecisa nesse ponto.
Passo 1
Resumindo: queremos a expansão de Taylor de primeira ordem (linearização) de e de em , e depois usar essas retas para aproximar os valores em . Para isso precisamos calcular e para cada função.
Passo 2
Para : .
Derivando,
logo
A linearização em é
Para : .
Derivando,
logo
A linearização em é
Passo 3
Em , ambas as retas valem
Os valores exatos são
e .
Assim os erros absolutos são
Passo 4
Comparando os erros, a linearização de sin x tem erro approx0,0236, menor que o erro approx0,0538 da linearização de tan x. Logo a aproximação de sin x é mais precisa em x=tfracpi6.
Resposta
(a) Lf(x)=x e Lg(x)=x.
(b) Em x=tfracpi6, ambas as retas dão tfracpi6approx0,5236, mas o erro de sin x é approx0,0236 e o de tan x é approx0,0538. Portanto a linearização de sin x é a mais precisa.