1. (a) Calcule as linearizações das funções f(x)=tg x e g(x)=sen x, em x=0.
    (b) Usando essas linearizações, aproxime ambas as funções em x=pi6 e veja qual a mais pecisa nesse ponto.

Passo 1

Resumindo: queremos a expansão de Taylor de primeira ordem (linearização) de tan x e de sin x em x=0, e depois usar essas retas para aproximar os valores em x=tfracpi6. Para isso precisamos calcular f(0) e f'(0) para cada função.

Passo 2

Para f(x)=tan x:
,f(0)=tan0=0.
Derivando,
f'(x)=sec^2x,
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f'(0)=sec^2 0=1
A linearização em 0 é
Lf(x)=f(0)+f'(0),(x-0)=0+1cdot x = x
Para g(x)=sin x:
,g(0)=sin0=0.
Derivando,
g'(x)=cos x,
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g'(0)=cos0=1
A linearização em 0 é
Lg(x)=g(0)+g'(0),(x-0)=0+1cdot x = x

Passo 3

Em x=tfracpi6, ambas as retas valem
Lf!l(tfracpi6r) = Lg!l(tfracpi6r) =tfracpi6approx0,5236
Os valores exatos são
tan!l(tfracpi6r)=tfrac1raiz3approx0,5774
e
sin!l(tfracpi6r)=tfrac12=0,5.
Assim os erros absolutos são
l|Lf-tanr|approxl|0,5236-0,5774r|approx0,0538, l|Lg-sinr|approxl|0,5236-0,5r|approx0,0236

Passo 4

Comparando os erros, a linearização de sin x tem erro approx0,0236, menor que o erro approx0,0538 da linearização de tan x. Logo a aproximação de sin x é mais precisa em x=tfracpi6.

Resposta

(a) Lf(x)=x e Lg(x)=x.
(b) Em x=tfracpi6, ambas as retas dão tfracpi6approx0,5236, mas o erro de sin x é approx0,0236 e o de tan x é approx0,0538. Portanto a linearização de sin x é a mais precisa.

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