Calcule o livre percurso médio das moléculas de hélio a
e sob pressão de 2 atm . Qual o número de colisões por segundo para uma molécula de hélio nessas condições? Qual a velocidade média quadrática das moléculas de hélio? Qual a densidade do gás nessas condições? Qual o número de moléculas presentes em um recipiente de
de hélio mantida a
e sob pressão de 2 atm ? O diâmetro de colisão molecular do hélio é de
.
Passo 1
Beleza, a questão pede várias coisas sobre um gás de hélio a 27 °C (ou seja T=300 K) e pressão de 2 atm (P=2×1,013×10^5 Pa). Em resumo vamos usar:
- Teoria cinética dos gases (livre percurso médio e velocidade das moléculas);
- Lei dos gases ideais (PV = nRT) para densidade e número de moléculas;
- Constante de Boltzmann (k_B = 1,38×10^−23 J/K) e massa da molécula de He (M=4 g/mol → m = 4×10−3/6,022×1023 kg).
Também precisamos do diâmetro de colisão d = 2,1 Å = 2,1×10^−10 m.
Passo 2
Primeiro converte as unidades básicas:
T = 27 °C + 273 = 300 K
P = 2 atm = 2×1,013×10^5 = 2,026×10^5 Pa
d = 2,1 Å = 2,1×10^−10 m
massa de uma molécula de He:
m = 4×10^−3 kg/mol ÷ (6,022×10^23 mol^−1) = 6,64×10^−27 kg
T = 27 °C + 273 = 300 K
P = 2 atm = 2×1,013×10^5 = 2,026×10^5 Pa
d = 2,1 Å = 2,1×10^−10 m
massa de uma molécula de He:
m = 4×10^−3 kg/mol ÷ (6,022×10^23 mol^−1) = 6,64×10^−27 kg
Passo 3
Calcular o livre percurso médio λ usando a fórmula da teoria cinética:
λ = \frac{k_B,T}{\sqrt2,\pi,d^2,P}
Substituindo:
k_B T = 1,38×10^{−23} × 300 = 4,14×10^{−21} J
\sqrt2,\pi,d^2 P = 1,4142×3,1416×(2,1×10{−10})2×2,026×10^5 ≃ 3,97×10^{−14}
Logo
λ = 4,14×10^{−21} / 3,97×10^{−14} ≃ 1,04×10^{−7} m
λ = \frac{k_B,T}{\sqrt2,\pi,d^2,P}
Substituindo:
k_B T = 1,38×10^{−23} × 300 = 4,14×10^{−21} J
\sqrt2,\pi,d^2 P = 1,4142×3,1416×(2,1×10{−10})2×2,026×10^5 ≃ 3,97×10^{−14}
Logo
λ = 4,14×10^{−21} / 3,97×10^{−14} ≃ 1,04×10^{−7} m
Passo 4
Agora a velocidade média quadrática (r.m.s.) v_rms, que vem de
v_{rms} = \sqrt{\frac{3,k_B,T}{m}}
Substituindo:
3 k_B T = 3×1,38×10^{−23}×300 = 1,242×10^{−20}
m = 6,64×10^{−27}
v_{rms} = \sqrt{\frac{1,242×10{−20}}{6,64×10{−27}}} = \sqrt{1,87×10^6} ≃ 1,37×10^3 m/s
v_{rms} = \sqrt{\frac{3,k_B,T}{m}}
Substituindo:
3 k_B T = 3×1,38×10^{−23}×300 = 1,242×10^{−20}
m = 6,64×10^{−27}
v_{rms} = \sqrt{\frac{1,242×10{−20}}{6,64×10{−27}}} = \sqrt{1,87×10^6} ≃ 1,37×10^3 m/s
Passo 5
Para o número de colisões por segundo por molécula, z, a gente usa
z ≃ \frac{\bar v}{\lambda}
onde \bar v é a velocidade média (não r.m.s.), dada por
\bar v = \sqrt{\frac{8,k_B,T}{\pi,m}}
Calculando:
8 k_B T = 8×1,38×10^{−23}×300 = 3,312×10^{−20}
\pi m = 3,1416×6,64×10^{−27} = 2,087×10^{−26}
\bar v = \sqrt{\frac{3,312×10{−20}}{2,087×10{−26}}} = \sqrt{1,587×10^6} ≃ 1,26×10^3 m/s
Então
z = 1,26×10^3 / 1,04×10^{−7} ≃ 1,21×10^{10} s^{−1}
z ≃ \frac{\bar v}{\lambda}
onde \bar v é a velocidade média (não r.m.s.), dada por
\bar v = \sqrt{\frac{8,k_B,T}{\pi,m}}
Calculando:
8 k_B T = 8×1,38×10^{−23}×300 = 3,312×10^{−20}
\pi m = 3,1416×6,64×10^{−27} = 2,087×10^{−26}
\bar v = \sqrt{\frac{3,312×10{−20}}{2,087×10{−26}}} = \sqrt{1,587×10^6} ≃ 1,26×10^3 m/s
Então
z = 1,26×10^3 / 1,04×10^{−7} ≃ 1,21×10^{10} s^{−1}
Passo 6
Para a densidade do gás (massa por volume) usamos a lei dos gases ideais:
P = ρ (R/M) T ⇒ ρ = \frac{P,M}{R,T}
M = massa molar = 4×10^−3 kg/mol, R = 8,314 J/(mol·K)
ρ = (2,026×10^5 × 4×10^{−3}) / (8,314×300) ≃ 0,325 kg/m^3
P = ρ (R/M) T ⇒ ρ = \frac{P,M}{R,T}
M = massa molar = 4×10^−3 kg/mol, R = 8,314 J/(mol·K)
ρ = (2,026×10^5 × 4×10^{−3}) / (8,314×300) ≃ 0,325 kg/m^3
Passo 7
Finalmente, o número de moléculas em V = 100 cm^3 = 1×10^−4 m^3:
n = \frac{P,V}{R,T} = \frac{2,026×10^5 × 1×10^{−4}}{8,314×300} ≃ 8,12×10^{−3} mol
N = n × N_A = 8,12×10^{−3} × 6,022×10^{23} ≃ 4,89×10^{21} moléculas
n = \frac{P,V}{R,T} = \frac{2,026×10^5 × 1×10^{−4}}{8,314×300} ≃ 8,12×10^{−3} mol
N = n × N_A = 8,12×10^{−3} × 6,022×10^{23} ≃ 4,89×10^{21} moléculas
Resposta
λ ≃ 1,04×10^−7 m
Número de colisões por molécula ≃ 1,21×10^{10} s^−1
v_{rms} ≃ 1,37×10^3 m/s
Densidade ρ ≃ 0,325 kg/m^3
Número de moléculas em 100 cm^3 ≃ 4,89×10^{21}
Número de colisões por molécula ≃ 1,21×10^{10} s^−1
v_{rms} ≃ 1,37×10^3 m/s
Densidade ρ ≃ 0,325 kg/m^3
Número de moléculas em 100 cm^3 ≃ 4,89×10^{21}