Determine:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a
da função
.
Informação dada: a função é . A pergunta é: qual é
?
Informação dada: a função é
Passo 2
Conceito rápido e intuitivo de derivada (para entender o porquê das regras): a derivada de uma função
em relação a
é a taxa de variação instantânea de
quando
muda — geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico de
. A definição limite é
mas para a resolução prática em prova usamos regras prontas (linéaridade, derivada da exponencial, etc.).
Passo 3
Regra que vamos usar (regra do fator constante / linearidade): se
é uma constante e
é diferenciável, então
Aqui
é uma constante multiplicativa (não depende de
) e
é a função. Essa regra permite “fatorar” a constante para fora da operação de derivada.
Passo 4
Outra regra necessária: derivada da função exponencial natural. Para todo
vale
Ou seja, a função
é especial porque sua derivada é ela própria. (Isto pode ser mostrado pela definição limite, mas aqui usamos a propriedade conhecida.)
Passo 5
Aplicando a regra do fator constante à função dada
:
escrevemos
escrevemos
Expliquei: tirei a constante
para fora da derivada conforme a regra do passo 3.
Passo 6
Agora substituímos a derivada de
pela própria
(regra do passo 4):
Passo 7
Interpretação prática: a derivada conserva a constante multiplicativa e a exponencial continua igual a si mesma, então o resultado final é um múltiplo da própria função original. Dica de prova: sempre que vir
com
constante, a derivada será
— decorre diretamente das duas regras usadas.