Determine:
\frac{d}{d x}\left(2 \cdot e^{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a x da função \,2 \cdot e^{x}.
Informação dada: a função é \,f(x)=2\cdot e^{x}. A pergunta é: qual é \dfrac{d}{dx}\bigl(2\cdot e^{x}\bigr)?

Passo 2

Conceito rápido e intuitivo de derivada (para entender o porquê das regras): a derivada de uma função f(x) em relação a x é a taxa de variação instantânea de f quando x muda — geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f. A definição limite é
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
mas para a resolução prática em prova usamos regras prontas (linéaridade, derivada da exponencial, etc.).

Passo 3

Regra que vamos usar (regra do fator constante / linearidade): se c é uma constante e g(x) é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot g(x)\bigr)=c\cdot \frac{d}{dx}g(x).
Aqui c é uma constante multiplicativa (não depende de x) e g(x) é a função. Essa regra permite “fatorar” a constante para fora da operação de derivada.

Passo 4

Outra regra necessária: derivada da função exponencial natural. Para todo x vale
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Ou seja, a função e^{x} é especial porque sua derivada é ela própria. (Isto pode ser mostrado pela definição limite, mas aqui usamos a propriedade conhecida.)

Passo 5

Aplicando a regra do fator constante à função dada \,f(x)=2\cdot e^{x}:
escrevemos
\frac{d}{dx}\bigl(2\cdot e^{x}\bigr)=2\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr).
Expliquei: tirei a constante 2 para fora da derivada conforme a regra do passo 3.

Passo 6

Agora substituímos a derivada de e^{x} pela própria e^{x} (regra do passo 4):
2\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=2\cdot e^{x}.

Passo 7

Interpretação prática: a derivada conserva a constante multiplicativa e a exponencial continua igual a si mesma, então o resultado final é um múltiplo da própria função original. Dica de prova: sempre que vir c\cdot e^{x} com c constante, a derivada será c\cdot e^{x} — decorre diretamente das duas regras usadas.

Resposta

\,2\cdot e^{x}

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