Calcule os logaritmos, utilizando a definição:
\log _{25} 5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{25} 5.
Informações fornecidas:
  • A base do logaritmo é 25.
  • O argumento (o número do qual se quer o logaritmo) é 5.
    Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Relembrando a definição de logaritmo (isso é essencial para usar na prova):
A igualdade
\log_a b = c
significa, por definição, que
a^{c} = b,
onde a é a base, b é o argumento e c é o valor do logaritmo. As condições para essa definição fazer sentido são a>0, a\neq 1 e b>0. Em palavras: o logaritmo responde “a que potência eu elevo a para obter b?”.
Exemplos simples para fixar:
  • \log_{10} 100 = 2 porque 10^{2}=100.
  • \log_{2} 8 = 3 porque 2^{3}=8.

Passo 3

Vamos aplicar a definição ao problema. Seja
x=\log_{25}5.
Pela definição de logaritmo isso equivale a
25^{x}=5.

Passo 4

Agora use uma reescrita conveniente: perceba que 25 é uma potência de 5, pois
25=5^{2}.
Substituindo em 25^{x}=5 obtemos
(5^{2})^{x}=5.

Passo 5

Use a propriedade de potências (a^{m})^{n}=a^{mn}. Assim
5^{2x}=5^{1}.
Como as duas potências têm a mesma base 5 (e 5>0, 5\neq1), os expoentes devem ser iguais:
2x=1.
Resolvendo para x:
x=\dfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação conceitual rápida (útil na prova): a resposta faz sentido porque 25^{1/2}=\sqrt{25}=5. Ou, usando a fórmula de mudança de base,
\log_{25}5=\dfrac{\log_{5}5}{\log_{5}25}=\dfrac{1}{2},
o que confirma o resultado.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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