Calcule integralC x y+z^3 d s de (1,0,0) à (-1,0, pi); ao longo de C representada pelas equações paramétricas x=cos (t), y=sen(t) 0 <= t <= pi:

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha integralC x y + z^3 , d s ao longo da curva C que vai do ponto (1,0,0) até (-1,0,pi) . Essa curva é descrita pelas equações paramétricas:
x = cos(t), y = sin(t), 0 <= t <= pi
Aqui, o conteúdo envolvido é cálculo de integrais de linha no espaço, e vamos precisar usar parametrização de curvas e cálculo de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a componente z em termos de t . Sabemos que quando t = 0 , z = 0 , e quando t = pi , z = pi . Portanto, podemos expressar z(t) = t .

Passo 3

A expressão para a integral fica:
integralC x y + z^3 , d s = integral0^pi ( cos(t) cdot sin(t) + t^3 ) , d s
Agora, precisamos encontrar d s , que é o elemento de arco da curva C .

Passo 4

Para encontrar d s , calculamos a derivada do vetor posição r(t) = (cos(t), sin(t), t) :
r'(t) = (-sin(t), cos(t), 1)
O módulo de r'(t) é:
|r'(t)| = raiz (-sin(t))^2 + (cos(t))^2 + 1^2 = raiz sin^2(t) + cos^2(t) + 1 = raiz2
Então, d s = |r'(t)| , dt = raiz2 , dt .

Passo 5

Substituindo d s na integral, temos:
integralC x y + z^3 , d s = raiz2 integral0^pi ( cos(t) sin(t) + t^3 ) , dt
Vamos separar a integral em duas partes:
raiz2 ( integral0^pi cos(t) sin(t) , dt + integral0^pi t^3 , dt )

Passo 6

Calculando a primeira integral:
integral cos(t) sin(t) , dt = 12 sin^2(t) + C
A segunda integral é:
integral t^3 , dt = t^44 + C

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a pi :
raiz2 ( [ 12 sin^2(pi) - 12 sin^2(0) ] + [ pi^44 - 0^44 ] )
Sabemos que sin(0) = 0 e sin(pi) = 0 , então:
raiz2 ( 0 + pi^44 ) = pi^4 raiz24

Resposta

A integral vale dfracpi^4 raiz24 .

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