Uma partícula move-se ao longo de uma reta com posição s(t) e velocidade instantânea v(t)=s^prime(t). Seja a(t)=v^prime(t)=2 t-1 sua aceleração instantânea e v(0)=-6 m / s sua velocidade inicial.
Determine o deslocamento da partícula durante o período de tempo 1 <= t <= 4 usando o teorema da variação total, isto é, De<a s=s(4)-s(1)=integral1^4 v(t) d t, e calcule a velocidade média vm=De<a s / De<a t da partícula nesse período de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta, e queremos descobrir quanto ela se desloca entre os tempos t = 1 e t = 4 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos saber sobre posição, velocidade e aceleração, e também vamos usar cálculo integral para calcular o deslocamento total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as informações que temos:
  • A aceleração instantânea da partícula é dada por:
a(t) = v'(t) = 2t - 1
  • A velocidade inicial no instante t = 0 é:
v(0) = -6 , m/s
Nossa missão é encontrar a velocidade v(t) para depois calcular o deslocamento De<a s entre t = 1 e t = 4 .

Passo 3

Sabendo que a aceleração é a derivada da velocidade, podemos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo:
v(t) = integral a(t) , dt = integral (2t - 1) , dt
Vamos fazer essa integral passo a passo.

Passo 4

Calculando a integral:
v(t) = integral 2t , dt - integral 1 , dt = t^2 - t + C
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial v(0) = -6 , m/s .

Passo 5

Aplicando a condição inicial para encontrar C :
v(0) = (0)^2 - 0 + C = C = -6 , m/s
Então, a expressão para a velocidade v(t) fica:
v(t) = t^2 - t - 6

Passo 6

Agora que temos a expressão da velocidade, podemos calcular o deslocamento De<a s no intervalo de t = 1 a t = 4 usando o teorema da variação total:
De<a s = s(4) - s(1) = integral1^4 v(t) , dt
Vamos calcular essa integral.

Passo 7

Calculando a integral do deslocamento:
De<a s = integral1^4 (t^2 - t - 6) , dt
Vamos integrar termo a termo:
De<a s = [ t^33 - t^22 - 6t ]1^4

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
Para t = 4 :
4^33 - 4^22 - 6 times 4 = 643 - 8 - 24 = 643 - 32 = 64 - 963 = -323
Para t = 1 :
1^33 - 1^22 - 6 times 1 = 13 - 12 - 6 = 26 - 36 - 6 = -16 - 6 = -1 - 366 = -376

Passo 9

Calculando o deslocamento total:
De<a s = ( -323 ) - ( -376 ) = -323 + 376 = -64 + 376 = -276 = -4,5 , metros

Passo 10

Por último, vamos calcular a velocidade média vm no intervalo de tempo:
vm = De<a sDe<a t = -4,54 - 1 = -4,53 = -1,5 , m/s

Resposta

O deslocamento da partícula entre t = 1 e t = 4 é de -4,5 metros, e a velocidade média nesse período é de -1,5 m/s.

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