Uma partícula move-se ao longo de uma reta com posição
e velocidade instantânea
. Seja
sua aceleração instantânea e
sua velocidade inicial.
Determine o deslocamento da partícula durante o período de tempo
usando o teorema da variação total, isto é,
, e calcule a velocidade média
da partícula nesse período de tempo.
Determine o deslocamento da partícula durante o período de tempo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move numa linha reta, e queremos descobrir quanto ela se desloca entre os tempos
e
segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos saber sobre posição, velocidade e aceleração, e também vamos usar cálculo integral para calcular o deslocamento total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as informações que temos:
- A aceleração instantânea da partícula é dada por:
- A velocidade inicial no instante
é:
Nossa missão é encontrar a velocidade
para depois calcular o deslocamento
entre
e
.
Passo 3
Sabendo que a aceleração é a derivada da velocidade, podemos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo:
Vamos fazer essa integral passo a passo.
Passo 4
Calculando a integral:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 5
Aplicando a condição inicial para encontrar
:
Então, a expressão para a velocidade
fica:
Passo 6
Agora que temos a expressão da velocidade, podemos calcular o deslocamento
no intervalo de
a
usando o teorema da variação total:
Vamos calcular essa integral.
Passo 7
Calculando a integral do deslocamento:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando o deslocamento total:
Passo 10
Por último, vamos calcular a velocidade média
no intervalo de tempo:
Resposta
O deslocamento da partícula entre
e
é de
metros, e a velocidade média nesse período é de
m/s.